2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение06.03.2013, 21:04 
Есть вопросы по 2 задачам.

1) Найдите матрицу перехода от базиса $\begin{pmatrix}
  1  \\
  2  
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
  2  \\
  -3  
\end{pmatrix}$ подпространства $\mathbb{R}^2$ к базису $\begin{pmatrix}
  1  \\
  -1  
\end{pmatrix},  \begin{pmatrix}
  1 \\
  2  
\end{pmatrix}$ подпространства $\mathbb{R}^2$.

Пользуясь

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n  $.
$\mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n  $.

$\ldots$

$\mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n  $.

Выписываем:

$\begin{pmatrix}
  1  \\
  -1  
\end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix}
  1  \\
  2  
\end{pmatrix}+y_1\cdot  \begin{pmatrix}
  2  \\
  -3  
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
  1  \\
  2  
\end{pmatrix}=x_2\cdot \begin{pmatrix}
  1  \\
  2  
\end{pmatrix}+y_2\cdot  \begin{pmatrix}
  2  \\
  -3  
\end{pmatrix}$

Решая системы, находим $x_1,x_2,y_1,y_2$

Ответом будет $\begin{pmatrix}
x_1  & y_1\\
x_2  & y_2\\  
\end{pmatrix}$

Верно?

2) Пусть $\mathcal{A}$ -- линейный оператор, заданный в пространстве $\mathbb{R}^3$ и $\vec{e_1},\vec{e_1},\vec{e_1}$ некоторый базис этого же пространства. Известно, что $\mathcal{A}(\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{e_1}$, $\mathcal{A}(\vec{e_3}+\vec{e_2})=\vec{e_2}$, $\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_3}$. Найдите матрицу оператора в этом базисе.

$\mathcal{A}(\vec{e_1})=\vec{e_1}-\vec{e_2}$

$\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_3}$

$\mathcal{A}(\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3})=\mathcal{A}(\vec{e_1})+\mathcal{A}(\vec{e_2})+\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_1}-\vec{e_2}+\vec{e_3}+\mathcal{A}(\vec{e_2})=\vec{e_1}$

$\mathcal{A}(\vec{e_2})=\vec{e_1}-(\vec{e_1}-\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{e_2}-\vec{e_3}$

По-моему это просто вот такая матрица (но чую, как будто что-то не то, слишком уж просто, наверное, где-то подвох)

$$\begin{pmatrix}
  1  &  -1  &  0  \\
  0  &  1  &  -1  \\
  0  &  0  &  1  
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение06.03.2013, 21:58 
Аватара пользователя
1) Да
2) Транспонировать надо матрицу вашу

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение06.03.2013, 22:09 
SpBTimes в сообщении #691930 писал(а):
1) Да
2) Транспонировать надо матрицу вашу

Спасибо. А зачем, что-то не очень понимаю...

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение06.03.2013, 22:50 
Аватара пользователя
never-sleep
Ну подействуйте вашей матрицей на базисные элементы и посмотрите.
Потому что коэффициенты в матрице оператора выписываются по столбцам

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение06.03.2013, 23:43 
SpBTimes в сообщении #691952 писал(а):
never-sleep
Ну подействуйте вашей матрицей на базисные элементы и посмотрите.
Потому что коэффициенты в матрице оператора выписываются по столбцам


$$\begin{pmatrix}
  1  &  -1  &  0  \\
  0  &  1  &  -1  \\
  0  &  0  &  1  
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
  \vec{e_1}  \\
   \vec{e_2}  \\
  \vec{e_3}  
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  \vec{e_1}-\vec{e_2}  \\
   \vec{e_2}-\vec{e_3}  \\
  \vec{e_3}  
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение07.03.2013, 07:02 
Аватара пользователя
Что это? Вектор из векторов?

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение07.03.2013, 16:33 
SpBTimes в сообщении #692026 писал(а):
Что это? Вектор из векторов?


Ну да, а что -- такого не бывает? А что вы имели ввиду тогда? Что-то не очень понятно...

-- 07.03.2013, 16:57 --

Не одно ли это и тоже? Перечитал определение матрицы оператора, там все-таки написано также, только вместо векторов там пишутся координаты вектора в базисе.
Читал вот здесь: http://twt.mpei.ac.ru/math/LARB/Linoper ... 30000.html

Не одно ли это и тоже? Это:

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n  $.
$\mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n  $.

$\ldots$

$\mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n  $

И это:

$\begin{pmatrix} 
\mathbf{b}_1\\ 
\mathbf{b}_2\\  
\vdots \\ 
\vdots \\ 
\mathbf{b}_n\\ 
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 
\alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
\alpha_{i1} & \cdots & \alpha_{ij} & \cdots & \alpha_{in} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
\alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mj} & \cdots & \alpha_{mn} 
\end{pmatrix}^T\cdot \begin{pmatrix} 
\mathbf{a}_1\\ 

\mathbf{a}_2\\  
\vdots \\ 
\vdots \\ 
\mathbf{a}_n\\ 
\end{pmatrix}$

Только вот зачем транспонировать -- пока тоже не ясно(

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение07.03.2013, 22:22 
Аватара пользователя
never-sleep в сообщении #692253 писал(а):
Ну да, а что -- такого не бывает? А что вы имели ввиду тогда? Что-то не очень понятно...

Нужно брать коэффициенты разложения. Далее.

$A: L \to M$, где $\dim L = n$ и $\dim M = k$
Пусть в $L$ задан базис $e_1, ..., e_n$ и в $M$ базис $f_1, ..., f_k$
$x \in L$, так что $x = \sum\limits_{i = 1}^n a_ie_i$
$Ax = \sum\limits_{i = 1}^n a_i Ae_i = \sum\limits_{i = 1}^n a_i \sum\limits_{j = 1}^k b_{j, i} f_j$
Тогда получаем:
$$ A = \begin{pmatrix}
b_{1,1} & \cdots & b_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{k,1} & \cdots & b_{k,n}
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Матрица перехода, матрица оператора.
Сообщение07.03.2013, 23:49 
Спасибо, ясно.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group