Найти наименьшее значение. Где лажа?

[yestlmush]

Помогите, пожалуйста, найти лажу.

Задача такая: Сумма положительных чисел $a,b,c$ в семь раз меньше их произведения. Найти наименьшее значение выражения $ab+bc+ac$.

Мое решение такое:

$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{7} \Rightarrow \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{7}.$
Далее,
$ab+bc+ac = ab+\frac{1}{ab}+ac+\frac{1}{ac}+bc+\frac{1}{bc}-\frac{1}{7} \geqslant 6-\frac{1}{7}.$
Последнее верно в силу неравенства Коши: $ab+\frac{1}{ab} \geqslant 2$. Решение,
очевидно, где-то неверно. (Правильный ответ --- 63). Подскажите, пожалуйста, где лажа?

[EtCetera]

Первый знак равно не верен. В условии значится "больше", а не "меньше".

[yestlmush]

EtCetera в сообщении #691614 писал(а):

Первый знак равно не верен. В условии значится "больше", а не "меньше".

Прошу прощения, неправильно написал. В условии как раз "меньше".

[Osmiy]

Из $\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{7}$ выразить $a$. Подставить в $ab+ac+bc$, упростить. Взять две производные по $b$ и $c$, приравнять их нулю. Решить систему двух уравнений относительно $b$ и $c$. Профит

[iifat]

Подозреваю, не всё выжато из отношения. К примеру, $ab+\frac1{ab}=2$ только при $ab=1$, но при этом отношение суммы к произведению никак не 1/7.
Может, составить уравнение $x^3-sx^2+tx-7s=0$ и проверить, при каких t оно имеет три действительных корня?

[bot]

yestlmush в сообщении #691613 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где лажа?

Её по сути нет - действительно неравенство справедливо. А при каких $ a, b, c$ в использованных Вами неравенствах возможны равенства?

[Osmiy]

Хм, если принять, что $a=b=c$, то $a=\sqrt{21}$ и $3a^2=63$

[Евгений Машеров]

Лажа в использовании неравенства Коши, в доказательстве которого предполагается, что a и b мы выбираем произвольно. Но тогда они не будут удовлетворять условиям (то, что мы к целевой функции прибавили правую часть ограничения и отняли левую - не значит, что оно стало выполняться).

Нестрогое решение сходу:
Условие и целевая функция не меняются при перестановке a, b, c. Очевидно, решение достигается при $a=b=c$, то есть $3a=\frac {a^3} 7$ (тут, конечно, может быть ситуация, что экстремум достигается на границе - но граница недостижима, вот если бы в условии было "неотрицательных", то минимальное значение 0)
Далее очевидно, что ЦФ=63.

Решение через Лагранжа:
$\min (ab+ac+bc)$ при условии $7(a+b+c)=abc$
$L=(ab+ac+bc)+\lambda(7(a+b+c)-abc)$
Ищем производные и приравниваем к нулю.
$b+c+\lambda(7-bc)=0$
$a+c+\lambda(7-ac)=0$
$a+b+\lambda(7-ab)=0$
$7(a+b+c)-abc=0$
И опять выходим на $a=b=c$

[nnosipov]

Да очевидно всё: применить неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим.

[mikroz]

Чтобы условие выполнялось, нужно масштабировать сначала.
Скажем, пусть $a=\sqrt{21}x,\ b=\sqrt{21}y,\ c=\sqrt{21}z$. Тогда $\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} = 3$.
Далее все точно так же: $ab+bc+ac=21\left( xy+xz+yz \right) = 21\left( xy+\frac{1}{xy} + xz + \frac{1}{xz} + yz + \frac{1}{yz} - 3 \right) \geqslant$ $ 21(6-3) = 63.$