Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

[Munin]

Выпишите, раз поняли.

[apv]

SergeyGubanov в сообщении #691141 писал(а):

Формально одноэлектронное уравнение Дирака представляет собой классическую теорию поля (почти).По крайней мере спектр частот в одноэлектронном атоме (водорода) получается формально методами классической теории поля (решается система дифференциальных уравнений в частных производных). То же самое со спектром частот одноэлектронного поля Дирака, например, в постоянном магнитном поле.Непонятки начинаются (но не ограничиваются одним лишь этим) когда от спектра частот мы хотим перейти к спектру энергии по формулам классической теории поля. Вот в этом месте вдруг выясняется, что нужна нормировка на единицу иначе от частот к энергии по классической формуле правильно не перейдёшь.В общем, надо бы прояснить вопрос...

А как этот вопрос решается для одночастичного уравнения Шредингера? И еще, дискретность энергии шредингеровского электрона в атоме получается из граничных условий, а не из условия нормировки. Разьве в релятивистском случае еще и условием нормировки?

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #691506 писал(а):

Так ведь в случае нелинейной системы уравнений вопроса с нормировкой решения вообще нет, оно такое какое получилось, его нельзя ни на что умножить.

Что значит "какое получится"? Вы что, начальные условия не вправе для уравнений ставить? Ну так вот и ставьте. Хорошенько над этим подумайте - и поймете причем я тут постоянно упоминал сохранение тока... А вы какие-то "умножить", эх...

Munin в сообщении #691608 писал(а):

Выпишите, раз поняли.

Зачем выписывать то, что кроме вас - все вроде поняли?

Но если автору топика не лень - я предложил ему выше рассмотреть случай электродинамики со скалярным комплексным полем.

apv в сообщении #691609 писал(а):

И еще, дискретность энергии шредингеровского электрона в атоме получается из граничных условий

Конечно. Просто, будем считать - кто-то "оговорился"...

[Munin]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #691621 писал(а):

Зачем выписывать то, что кроме вас - все вроде поняли?

Затем, что лично меня это "вроде" не устраивает. Все крутят пальцами в воздухе, и не делают строгих обоснованных утверждений.

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #691561 писал(а):

Лично я все понял: берем уравнение Максвелла с током, выраженным через поле Дирака (точнее, уравнение для 4-потенциала) и записываем его решение в явном виде. Затем подставляем его в уравнение Дирака и получаем нелинейное уравнение, выраженное только через $\psi$. Нормировка его решения определяется начальными и граничными условиями, а не навязывается равной единице.

Да! Да! Да!

apv в сообщении #691609 писал(а):

А как этот вопрос решается для одночастичного уравнения Шредингера? И еще, дискретность энергии шредингеровского электрона в атоме получается из граничных условий, а не из условия нормировки. Разьве в релятивистском случае еще и условием нормировки?

Не энергии, а частоты. А вот энергия классического поля зависит ещё от нормировки. Умножаете поле $\psi$ на константу $K$ и классическая энергия поля при этом умножается на $|K|^2$. Чтобы классическая энергия поля была связана с частотой формулой $E = \hbar \omega$ требуют нормировки поля $\psi$ на единичку. После этого $\psi$ разрешается умножать только на такие $K$, которые $|K|^2 = 1$.

myhand в сообщении #691621 писал(а):

Что значит "какое получится"? Вы что, начальные условия не вправе для уравнений ставить?

"Какое получится" как раз и означает какое получится из граничных условий, а не привнесено руками в виде нормировки на единичку.

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #691690 писал(а):

"Какое получится" как раз и означает какое получится из граничных условий

Я бы, скорее, отнес это к начальным условиям. Задан некоторый интеграл от вашей "обобщенной координаты" в начальный момент времени $t=0$. В одном случае - получаете плотность вероятности, в другом - плотность тока.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #691657 писал(а):

Все крутят пальцами в воздухе, и не делают строгих обоснованных утверждений.

См. выше. Что тут может быть нестрогого? Процедура описана вполне полным образом. Почему в этом случае можно говорить о нормировке - я подробно описал еще ранее, упомянув закон сохранения тока.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #691690 писал(а):

Да! Да! Да!

Мне не хотелось бы прибегать к этому, но извините, я требую, чтобы вы записали обсуждаемую вами систему уравнений.

[apv]

SergeyGubanov в сообщении #691690 писал(а):

Не энергии, а частоты. А вот энергия классического поля зависит ещё от нормировки. Умножаете поле $\psi$ на константу $K$ и классическая энергия поля при этом умножается на $|K|^2$. Чтобы классическая энергия поля была связана с частотой формулой $E = \hbar \omega$ требуют нормировки поля $\psi$ на единичку. После этого $\psi$ разрешается умножать только на такие $K$, которые $|K|^2 = 1$.

Ну, например, для свободного шредингеровского поля, $\psi$ нельзя нормировать на единичку. Там константу $K$ выбирают из уравнения сохранения тока вероятности. Для одночастичного случая $\left|K\right|^2=1$. А частота и энергия независимо от этого связанны $E=\hbar\omega$.

[Munin]

apv в сообщении #691736 писал(а):

Ну, например, для свободного шредингеровского поля, $\psi$ нельзя нормировать на единичку.

А почему? Кто нам мешает взять в качестве базисных функций не плоские волны, а ограниченные волновые пакеты?

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #691762 писал(а):

apv в сообщении #691736 писал(а):

Ну, например, для свободного шредингеровского поля, $\psi$ нельзя нормировать на единичку.

А почему? Кто нам мешает взять в качестве базисных функций не плоские волны, а ограниченные волновые пакеты?

Но так и делают и подразумевают, что пакет имеет размер $L$, где $L$ размер "большого" ящика.

Похоже, дискуссия идет не по существу.

[Munin]

VladimirKalitvianski
Простите, я вопрос задал не вам.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #691714 писал(а):

Мне не хотелось бы прибегать к этому, но извините, я требую, чтобы вы записали обсуждаемую вами систему уравнений.

Мы обсуждаем систему уравнений Максвелла-Дирака. Отвечаю только потому, что согласно правилам раздела "Дискуссионные темы" на вопросы заданные ЗУ положенно отвечать. Да, кстати, не извиняю. Требование ЗУ выписать здесь систему уравнений Максвелла-Дирака считаю превышением полномочий. Должен быть разумный предел, что можно требовать, а что уже маразм. Прошу модераторов вынести заслуженному участнику Munin предупреждение за превышение полномочий.

apv в сообщении #691736 писал(а):

Ну, например, для свободного шредингеровского поля, $\psi$ нельзя нормировать на единичку. Там константу $K$ выбирают из уравнения сохранения тока вероятности. Для одночастичного случая $\left|K\right|^2=1$. А частота и энергия независимо от этого связанны $E=\hbar\omega$.

Свободное поле не причём, речь про случай дискретного спектра, а конкретно про поле Дирака в непроницаемом ящике или в атоме водорода. Плотность энергии классического поля есть $T_{00}$, а энергия есть интеграл от неё. Если специально не позаботиться о нормировке $\psi$, то интеграл от $T_{00}$ не будет равен $\hbar \omega$.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #691790 писал(а):

Мы обсуждаем систему уравнений Максвелла-Дирака. Отвечаю только потому, что согласно правилам раздела "Дискуссионные темы" на вопросы заданные ЗУ положенно отвечать. Да, кстати, не извиняю. Требование ЗУ выписать здесь систему уравнений Максвелла-Дирака считаю превышением полномочий.

У вас что, руки отвалятся?

Я знаю, почему вы не хотите... но хочу однозначно вывести вас на чистую воду.

[myhand]

Munin в сообщении #691821 писал(а):

Я знаю, почему вы не хотите...

Дай угадаю. Потому что лень тратить время и силы, отвечая на бестолковый вопрос?

Откройте "Классические калибровочные поля" Рубакова - где-то во второй части книжки есть глава "Фермионы во внешних полях". Зачем вы хотите чтобы добрый дядя накопипастил сюда вам оттуда формул - загадка.

[zask]

SergeyGubanov

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #691790 писал(а):

Требование ЗУ выписать здесь систему уравнений Максвелла-Дирака считаю превышением полномочий.

Сергей, некорректно. Законное требование. Через пропасть прыгать в 2 прыжка - это акробатический этюд.