2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение03.03.2013, 22:32 


19/10/11
174
Пусть $M$ - свободный модуль, $N$ - его подмодуль (свободный). Правда ли, что тогда $M=N \oplus M/N$?
В случае векторных пространств я понимаю, для каждого $m \in M$ нужно взять в качестве первого слагаемого его ортогональную проекцию на $N$, а в качестве второго - класс эквивалентности в $M/N$. А как быть с модулями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение03.03.2013, 22:38 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
FFFF в сообщении #690820 писал(а):
Пусть $M$ - свободный модуль, $N$ - его подмодуль (свободный). Правда ли, что тогда $M=N \oplus M/N$?

Не всегда. Как пример рассмотрите группу $\mathbb{Z}$ как модуль над собой и подмодуль $2\mathbb{Z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение03.03.2013, 23:12 


19/10/11
174
AV_77
я правильно понимаю, что как группы $\mathbb Z = 2 \mathbb Z \oplus \mathbb {Z}/2 \mathbb Z$
но не как модули (проблема в умножении на скаляр из $\mathbb Z$) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 07:32 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Нет, конечно. $\mathbb{Z}$ не разложима в прямую сумму ни как группа, ни как модуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 09:12 


19/10/11
174
да, спасибо, понял: $2\cdot 3=6=3+3=(2\oplus 1)+(2\oplus 1)=4=2\cdot 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 20:09 


19/10/11
174
Хотелось бы продолжить тему: изначальная идея была доказать, что всякая ограниченная снизу точная последовательность свободных модулей расщепляется. С чего здесь можно начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 20:28 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Про точные последовательности не скажу, не очень ими владею, к сожалению, но для абелевых групп справедливо следующее утверждение, которое, возможно, поможет.
Если $G$ - группа и $A$ - ее подгруппа такая, что $G/A$ свободна, то $A$ выделяется прямым слагаемым.
Для модулей должна быть аналогичная теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 20:46 


19/10/11
174
Наверное, это может помочь, вот начало комплекса:
$$
...\rightarrow 0 \xrightarrow{d_1}C_0\xrightarrow{d_0}C_{-1}\rightarrow ...
$$
из точности получаем, что $C_0$ вкладывается в $C_{-1}$. Тогда, если доказать, что фактор свободного модуля по свободному $C_{-1}/ C_0$ является свободным, то первый член можно расщепить, может дальше тоже хорошо пойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 22:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Мы вроде уже выяснили, что фактор свободного модуля по свободному подмодулю будет свободным далеко не всегда. $C_{-2}$ что из себя представляет, тоже свободный модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение04.03.2013, 22:49 


19/10/11
174
все элементы - свободные модули. Вообще, расщепимость такой последовательности - это какое-то стандартное утверждение, у Вейбела дано в качестве упражнения, ещё искал у Спеньера, но не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение05.03.2013, 07:13 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Так в чем тогда проблема? Если $G$ - модуль и $A$ - его подмодуль такой, что фактормодуль $G/A = B$ свободен, то $G \simeq A \oplus B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение05.03.2013, 08:44 


19/10/11
174
AV_77 в сообщении #691305 писал(а):
Так в чем тогда проблема?

AV_77 в сообщении #691264 писал(а):
Мы вроде уже выяснили, что фактор свободного модуля по свободному подмодулю будет свободным далеко не всегда


то есть почему фактор $C_{-1}/C_0$ будет всегда свободным модулем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение05.03.2013, 11:00 
Заслуженный участник


08/01/12
915
FFFF в сообщении #691217 писал(а):
Наверное, это может помочь, вот начало комплекса:
$$
...\rightarrow 0 \xrightarrow{d_1}C_0\xrightarrow{d_0}C_{-1}\rightarrow ...
$$

Ежели комплекс у Вас «ограничен снизу», то картинка должна быть другая:
$$
\dots \rightarrow C_2 \rightarrow C_1 \rightarrow C_0 \rightarrow 0 \rightarrow 0 \dots
$$
А тут все понятно, нужно использовать то, что прямое слагаемое свободного модуля проективно и определение проективного модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение свободного модуля в прямую сумму
Сообщение06.03.2013, 06:10 


19/10/11
174
apriv
всё получилось, спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group