Разложение свободного модуля в прямую сумму

[FFFF]

Пусть $M$ - свободный модуль, $N$ - его подмодуль (свободный). Правда ли, что тогда $M=N \oplus M/N$?
В случае векторных пространств я понимаю, для каждого $m \in M$ нужно взять в качестве первого слагаемого его ортогональную проекцию на $N$, а в качестве второго - класс эквивалентности в $M/N$. А как быть с модулями?

[AV_77]

FFFF в сообщении #690820 писал(а):

Пусть $M$ - свободный модуль, $N$ - его подмодуль (свободный). Правда ли, что тогда $M=N \oplus M/N$?

Не всегда. Как пример рассмотрите группу $\mathbb{Z}$ как модуль над собой и подмодуль $2\mathbb{Z}$.

[FFFF]

AV_77
я правильно понимаю, что как группы $\mathbb Z = 2 \mathbb Z \oplus \mathbb {Z}/2 \mathbb Z$
но не как модули (проблема в умножении на скаляр из $\mathbb Z$) ?

[AV_77]

Нет, конечно. $\mathbb{Z}$ не разложима в прямую сумму ни как группа, ни как модуль.

[FFFF]

да, спасибо, понял: $2\cdot 3=6=3+3=(2\oplus 1)+(2\oplus 1)=4=2\cdot 2$

[FFFF]

Хотелось бы продолжить тему: изначальная идея была доказать, что всякая ограниченная снизу точная последовательность свободных модулей расщепляется. С чего здесь можно начать?

[AV_77]

Про точные последовательности не скажу, не очень ими владею, к сожалению, но для абелевых групп справедливо следующее утверждение, которое, возможно, поможет.
Если $G$ - группа и $A$ - ее подгруппа такая, что $G/A$ свободна, то $A$ выделяется прямым слагаемым.
Для модулей должна быть аналогичная теорема.

[FFFF]

Наверное, это может помочь, вот начало комплекса:

$$ ...\rightarrow 0 \xrightarrow{d_1}C_0\xrightarrow{d_0}C_{-1}\rightarrow ... $$

из точности получаем, что $C_0$ вкладывается в $C_{-1}$. Тогда, если доказать, что фактор свободного модуля по свободному $C_{-1}/ C_0$ является свободным, то первый член можно расщепить, может дальше тоже хорошо пойдёт?

[AV_77]

Мы вроде уже выяснили, что фактор свободного модуля по свободному подмодулю будет свободным далеко не всегда. $C_{-2}$ что из себя представляет, тоже свободный модуль?

[FFFF]

все элементы - свободные модули. Вообще, расщепимость такой последовательности - это какое-то стандартное утверждение, у Вейбела дано в качестве упражнения, ещё искал у Спеньера, но не нашёл.

[AV_77]

Так в чем тогда проблема? Если $G$ - модуль и $A$ - его подмодуль такой, что фактормодуль $G/A = B$ свободен, то $G \simeq A \oplus B$.

[FFFF]

AV_77 в сообщении #691305 писал(а):

Так в чем тогда проблема?

AV_77 в сообщении #691264 писал(а):

Мы вроде уже выяснили, что фактор свободного модуля по свободному подмодулю будет свободным далеко не всегда

то есть почему фактор $C_{-1}/C_0$ будет всегда свободным модулем?

[apriv]

FFFF в сообщении #691217 писал(а):

Наверное, это может помочь, вот начало комплекса:

$$ ...\rightarrow 0 \xrightarrow{d_1}C_0\xrightarrow{d_0}C_{-1}\rightarrow ... $$

Ежели комплекс у Вас «ограничен снизу», то картинка должна быть другая:

$$ \dots \rightarrow C_2 \rightarrow C_1 \rightarrow C_0 \rightarrow 0 \rightarrow 0 \dots $$

А тут все понятно, нужно использовать то, что прямое слагаемое свободного модуля проективно и определение проективного модуля.

[FFFF]

apriv
всё получилось, спасибо большое!