Разноцветные кубики

[Ktina]

Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?

Возьмём 4 кубика и выложим их в квадрат $2\times 2$
Пусть передний левый кубик имеет номер 1, передний правый -- 2, задний левый -- 3 и задний правый -- 4.
Пусть у каждого кубика верхняя вершина имеет номер 1, передняя -- 2, правая -- 3, левая -- 4, задняя -- 5 и нижняя --6.

Пусть в 1-й цвет покрашены 1-я вершина 1-го кубика и 2-я вершина 2-го кубика.
Пусть во 2-й цвет покрашены 1-я вершина 2-го кубика и 2-я вершина 1-го кубика.
Пусть в 3-й цвет покрашены 1-я вершина 3-го кубика и 5-я вершина 4-го кубика.
Пусть в 4-й цвет покрашены 1-я вершина 4-го кубика и 5-я вершина 3-го кубика.
Пусть в 5-й цвет покрашены 6-я вершина 1-го кубика и 4-я вершина 3-го кубика.
Пусть в 6-й цвет покрашены 6-я вершина 3-го кубика и 4-я вершина 1-го кубика.

Я как ни крутила, не смогла добиться того, чтобы все кубики смотрели вверх гранями одного и того же цвета.
Но правильный ответ на задачу: "всегда".

В чём я ошиблась?

[Tall]

(Оффтоп)

кубик Рубика

[AV_77]

1) Задний ряд повернуть против часовой стрелки, правый столбец повернуть против часовой стрелки, задний ряд повернуть по часовой стрелке, правый столбец повернуть по часовой стрелке. В результате оба кубика заднего ряда будут лежать 1-м цветом вверх. Кубики переднего ряда останутся в начальном положении.

2) А дальше у вас не указано, какие грани остальных кубиков покрашены в первый цвет.

[Ktina]

AV_77 в сообщении #690346 писал(а):

1) Задний ряд повернуть против часовой стрелки, ...

Простите, а против часовой это куда?
В условии написано "вокруг длинной оси".

[AV_77]

Кубики поворачиваются вокруг "длинной оси" всего столбца, а не отдельного кубика. То есть

AV_77 в сообщении #690346 писал(а):

Задний ряд повернуть против часовой стрелки

означает, что нужно повернуть кубики заднего ряда относительно оси, которая проходит через центры кубиков этого ряда.

[Tall]

Мне кажется, что важно, что сторона кубика, перпендикулярная оси, вокруг которой поворачивается кубик, при повороте не меняется. (Капитан очевидность сделал так )
1.Выстраиваем первый ряд и первый столбец в один цвет - Белый.
2.Смотрим с какой стороны этот цвет у четвертого кубика.
....надеюсь я правильно понял условия задачи? Дальше зависит от того, с какой стороны у кубика Белый цвет.
А тут все симметрично:
Если Б на грани кубика, параллельной оси столбика
3.Поворачиваем верхнюю строку на один поворот ( 90 градусов )
4.Вращаем второй столбец до достижения цвета Б
5.Возвращаем первую строку на место
Если Б на двух других гранях, смотрим на все сбоку.

[Ktina]

AV_77 в сообщении #690353 писал(а):

означает, что нужно повернуть кубики заднего ряда относительно оси, которая проходит через центры кубиков этого ряда.

Если я смотрю на это дело сверху, где будет часовая стрелка?

[AV_77]

Вы, когда поворачиваете, смотрите сбоку в "торец" оси, вокруг которой поворачиваете.

PS. Если сверху смотреть, то поворачиваете так, что передняя грань становится верхней.

[Ktina]

AV_77 в сообщении #690357 писал(а):

PS. Если сверху смотреть, то поворачиваете так, что передняя грань становится верхней.

Поняла.
Если сделать так, как Вы сказали, у второго кубика передняя грань, окрашенная в первый цвет, останется на том же месте. То есть, все кубики смотреть первым цветом вверх не смогут.

[Tall]

Э, у меня хотя бы понятно, что я написал? :))

[Ktina]

Я вообще в первом посте везде вместо "грань" написала, почему-то вершина

[AV_77]

Пока мы только два задних кубика поставили одной гранью вверх. Теперь надо аналогичным образом остальные расставлять.

[Ktina]

Tall в сообщении #690360 писал(а):

Э, у меня хотя бы понятно, что я написал? :))

Честно? Нет.
Попробуйте сделать так, чтобы все кубики смотрели первым цветом вверх. У Вас не выйдет.
Аналогично, не выйдет с любым другим цветом.

[Tall]

Ktina
Нет, они у меня уже смотрят вверх одним цветом, я не пользовался Вашей нумерацией.

-- 02.03.2013, 23:31 --

Ktina
Надо вращать строки, пока первый столбец не будет одним цветом. Потом вращать второй столбец, пока 2-й кубик, или первый кубик второго столбца, не будет тем же цветом. В итоге 1-й, 2-й, 3-й кубики смотрят вверх одним цветом. Я ни чего не перепутал?
А далее проводим хитрую манипуляцию и получаем сверху один цвет.

[Nacuott]

Задачу можно свести к теории групп подстановок.Образующие группы (вращение строк и столбцов) перемещают все элементы, а значит
можно получить любой элемент из симметрической группы S= 6mn. Другое дело указать вращения - это уже другой вопрос.