геометрическая вероятность (множ-ва меры нуль)

[Gordmit]

1. Из того, что необходимым и достаточным условием того, что треугольник, вписанный в окружность, прямоугольный, является наличие у него двух диаметрально противоположных вершин. И необходимость, и достаточность очевидны: если прямоугольник треугольный, то его гипотенуза проходит через центр окружности; и обратно: если какая-то сторона треугольника проходит через центр окружности, то противолежащий угол - прямой.

2. Я имел здесь в виду, что каждое из этих трех условий задает пару плоскостей. Например, условие $|x-y|=\pi$ задает две параллельные плоскости $x-y=\pi$ и $y-x=\pi$ (они параллельны оси z). Аналогично и для других.

[PAV]

Предложу еще одно объяснение. Будем ставить точки одну за другой, выбирая их на каждом шаге случайно (в смысле - равномерно на окружности) и независимо от предыдущих.

Первая точка может попасть куда угодно, одна она нас не интересует.

Для второй точки возникает две возможности: либо она попадает строго противоположно первой (т.е. соединяющий их отрезок проходит через центр круга), либо нет.

В первом случае мы получим прямоугольный треугольник при любом выборе третьей точки (вырожденные случаи, когда две из трех или все три точки совпадают, я опускаю). Но при выборе из континуума возможных точек вероятность того, что вторая точка попадет в эту единственную зафиксированную точку, противоположную первой, равна нулю. Так что это вариант имеет нулевую вероятность.

Таким образом, с вероятностью 1 реализуется другой вариант. Но в нем для получения прямоугольного треугольника третья точка должна лечь либо строго противоположно первой, либо противоположно второй. И снова, шанс из континуума возможностей выбрать в точности одну из этих двух равен нулю.

[Amigo]

Gordmit писал(а):

1. Из того, что необходимым и достаточным условием того, что треугольник, вписанный в окружность, прямоугольный, является наличие у него двух диаметрально противоположных вершин. И необходимость, и достаточность очевидны: если прямоугольник треугольный, то его гипотенуза проходит через центр окружности; и обратно: если какая-то сторона треугольника проходит через центр окружности, то противолежащий угол - прямой.

2. Я имел здесь в виду, что каждое из этих трех условий задает пару плоскостей. Например, условие $|x-y|=\pi$ задает две параллельные плоскости $x-y=\pi$ и $y-x=\pi$ (они параллельны оси z). Аналогично и для других.

Я понял суть Вашего доказательства, но какая то не ясность всё же остаётся. Но пока точно сформулировать не могу. А приближённо,
что то типа: есть три переменные x,y,z которые ограничены. Множество всех возможных троек (x,y,z) представляет из себя
трёхмерный паралелипиппед - это совершенно ясно.
Но теперь, мы начинаем рассматривать различные уравнения
F_i(x,y)=0, F_i(x,z)=0,F_i(z,y)=0 или даже
таких G_i(x,y,z)=0, так вот, я не помойму:
с чего это, если у нас дано некоторое уравнение, связывающее
эти переменные каким угодно образом между собой, поверхность
задаваемую этим уравнением мы имеем право тулить в первоначальный параллелипиппед? Мало ли, как мы можем
связать эти переменные между собой (каким условием),так на каких
объективных основаниях мы считаем, что последнее наше творчество вообще имеет к первоначальному параллелипиппеду
хоть какое то отношение?

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

PAV писал(а):

Предложу еще одно объяснение. Будем ставить точки одну за другой, выбирая их на каждом шаге случайно (в смысле - равномерно на окружности) и независимо от предыдущих.

Первая точка может попасть куда угодно, одна она нас не интересует.

Для второй точки возникает две возможности: либо она попадает строго противоположно первой (т.е. соединяющий их отрезок проходит через центр круга), либо нет.

В первом случае мы получим прямоугольный треугольник при любом выборе третьей точки (вырожденные случаи, когда две из трех или все три точки совпадают, я опускаю). Но при выборе из континуума возможных точек вероятность того, что вторая точка попадет в эту единственную зафиксированную точку, противоположную первой, равна нулю. Так что это вариант имеет нулевую вероятность.

Таким образом, с вероятностью 1 реализуется другой вариант. Но в нем для получения прямоугольного треугольника третья точка должна лечь либо строго противоположно первой, либо противоположно второй. И снова, шанс из континуума возможностей выбрать в точности одну из этих двух равен нулю.

Ваше доказательство не вызывает ни каких сомнений!

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

Но теперь, мы начинаем рассматривать различные уравнения
F_i(x,y)=0, F_i(x,z)=0,F_i(z,y)=0 или даже
таких G_i(x,y,z)=0, так вот, я не помойму:
с чего это, если у нас дано некоторое уравнение, связывающее
эти переменные каким угодно образом между собой, поверхность
задаваемую этим уравнением мы имеем право тулить в первоначальный параллелипиппед? Мало ли, как мы можем
связать эти переменные между собой (каким условием),так на каких
объективных основаниях мы считаем, что последнее наше творчество вообще имеет к первоначальному параллелипиппеду
хоть какое то отношение?

Очень странный вопрос. Ведь с самого начала в решении задачи предложено рассматривать множество всевозможных вершин треугольников и его подмножество вершин прямоугольных треугольников, затем было показано, что это подмножество удовлетворяет неким доп. равенствам. И с какой стати оно теперь вдруг перестанет быть подмножеством множества всех вершин?

[Zai]

Цитата:

Помогите решить задачу.
На круге радиусом 5 единиц выбирают три точки А, В, С. Какая вероятность того, что треугольник АВС прямоугольный?

Очень интересно:
Какая вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?

[PAV]

Zai писал(а):

Очень интересно:
Какая вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?

Получается $\frac{1}{2}$



Amigo

То рассуждение, которое я привел, можно перевести на язык ограничений в форме равенств, которым пользовались перед этим. Пусть у нас есть "случайный" выбор, допустим, трех чисел $(x,y,z)$ из некоторой области (скажем, некоторого кубика). Пусть теперь нас интересует вероятность выполнения некоторого равенства $G(x,y,z)=0$. Тогда как правило это равенство можно разрешить относительно некоторой переменной так, что при любых значениях двух других получается некоторое, скажем, конечное число решений. Тогда шанс того, что при выбранных сначала двух переменных эта третья "попадет" ровно в какую-нибудь из этих точек, равна нулю.

Еще по-другому можно понимать так. Наши распределения каждого из значений $x,y,z$ непрерывны в том смысле, что вероятность любого одного фиксированного значения равна нулю. Рассмотрим функцию $G(x,y,z)$ как случайную величину. Тогда как правило она тоже оказывается непрерывно распределенной в том же смысле (нарушаться это условие может, например, если эта функция принимает некоторое одно и то же значение сразу на целой области). Поэтому и данная функция принимает любое фиксированное значение (в частности, 0) с нулевой вероятностью.

Разумеется, при строгом доказательстве все эти рассуждения "на пальцах" и как правило должны быть строго рассмотрены и обоснованы.

[Gordmit]

PAV писал(а):

Zai писал(а):

Очень интересно:
Какая вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?

Получается $\frac{1}{2}$

Я, наверное, где-то ошибся, но у меня почему-то получается $\frac{5}{12}$. Самому странно.
А можно увидеть хотя бы начальный ход Ваших мыслей?... Обобщить Ваше объяснение по поводу прямоугольных треугольников на этот случай у меня не вышло.

[PAV]

Я исходил из того, что пусть на окружность уже поставлены две точки A и B. Расстояние между ними (по окружности) есть равномерно распределенная случайная величина на отрезке $[0,\pi]$. Чтобы получить ОСТРЫЙ угол, необходимо, чтобы треться точка C попала между A' и B', которые противоположны А и В. Длина дуги, куда должна попасть С, равна таким образом тому же расстоянию между А и В.

Добавлено спустя 10 минут 1 секунду:

А может быть я и неправ... Похоже, что вероятность тупоугольного треугольника $\frac{3}{4}$.

[Gordmit]

Если на окружности уже есть две точки А и В, центральный угол между которыми равен $\varphi$ ($0<\varphi<\pi$), то вероятность того, что точка С попадет между A' и B', равна $P(\varphi)=1-\frac{\varphi}{2\pi}$. Это вероятность того, что получится тупоугольный треугольник, при условии, что центральный угол между А и В равен $\varphi$. Так как расстояние по окружности - равномерно распределенная случайная величина, то искомая вероятность должна считаться так:

$$P=\int_0^\pi P(\varphi) \frac{d\varphi}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi P(\varphi)\,d\varphi=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left(1-\frac{\varphi}{2\pi}\right)\,d\varphi=\frac34$$

Я уже ничего не понимаю...

[PAV]

Да, похоже так и есть, $\frac{3}{4}$

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

Тут не обязательно интегралы брать, все изображается в виде прямоугольника, разделенного на две части, и одна разбита еще диагональю поплам.

[Gordmit]

Интересно, кстати, рассмотреть обобщения этой задачи. Например:

1. Найти вероятность того, что хотя бы один из углов треугольника больше $\alpha$ (где $\frac{\pi}{3}\leqslant\alpha\leqslant\pi$ - заданный параметр);

2. Найти вероятность того, что радиус вписанной в треугольник окружности больше $R$ (где $0\leqslant R\leqslant\frac12$ - заданный параметр).

(Считаем, что радиус исходной окружности единица.)

[Marista]

А вот если 3 точки не на окружности, а на плоскости, изменится ли вероятность? С одной стороны, они все равно на окружности, а с другой, на плоскости окружностей сильно больше, чем счетно.

[Brukvalub]

Здесь недавно уже обсуждался тот же самый вопрос. Автор вопроса так и не смог предложить способ определить на плоскости вероятностную меру, соответствующую равномерному распределению. Может, Вы попробуете

[Marista]

Ну, меру, наверное, можно определить так:

$$P(A)=\lim\limits_{N\longrightarrow\infty}\frac{|A\cap S_N|}{N}$$

, где SN шар радиуса N.

[Brukvalub]

Marista писал(а):

Ну, меру, наверное, можно определить так:

$$P(A)=\lim\limits_{N\longrightarrow\infty}\frac{|A\cap S_N|}{N}$$

, где SN шар радиуса N.

1. Не очень понятно, что означают вертикальные палочки в числителе дроби, но, скорее всего, Жорданову или Лебегову меру пересечения.
2. Но тогда эта величина не будет вероятностной мерой. Это, на мой взгляд, вообще плохая идея, так как, например, мера любого ограниченного множества будет равна 0, а мера всего пространства будет бесконечна...