скорость колебательного движения

[kis]

уравнение координаты гармонических колебаний: $\[x = {x_m}\cos (\omega t + \varphi )\]$

скорость - вторая производная координаты: $\[v = x'' = - {x_m}\omega \cdot \sin (\omega t + \varphi )\]$
значит, амплитуда колебаний скорости равна $\[{v_m} = - {x_m}\omega \]$.
непонятно, что означает минус в этой формуле? или я формулу неправильно записал?

upd:

Цитата:

скорость - вторая производная координаты:

точнее, первая производная:
$\[v = x' = - {x_m}\omega \cdot \sin (\omega t + \varphi )\]$

[r0ma]

kis в сообщении #689277 писал(а):

скорость - вторая производная координаты

Вторая производная - это ускорение.

[kis]

ой, пардон. это я оговорился - в формулах все верно

[miflin]

kis в сообщении #689277 писал(а):

непонятно, что означает минус в этой формуле? или я формулу неправильно записал?

Минус - см. производную косинуса. А вместо x'' напишите x'.

[kis]

производная косинуса = -sin(x).
мне непонятно, как будет правильно: $\[{v_m} = - {x_m}\omega \]$ или так $\[{v_m} = {x_m}\omega \]$
если первое уравнение, то какой смысл в минусе?

[miflin]

kis в сообщении #689289 писал(а):

то какой смысл в минусе?

Минус относится к закону изменения скорости.
А для связи амплитудных значений координаты и скорости он не нужен,
т.к. амплитудные значения - положительны.

[kis]

ну, ускорение же $\[{a_m} = - {\omega ^2}{x_m}\]$, но тут понятно почему минус - в отрицательной координате ускорение "положительно", в положительной координате - ускорение "отрицательно".

значит $\[{v_m} = {x_m}\omega \]$. понял спасибо :)

[miflin]

kis в сообщении #689298 писал(а):

ну, ускорение же $\[{a_m} = - {\omega ^2}{x_m}\]$, но тут понятно почему минус

Хм...
Для амплитудных значений - так: $\[{a_m} = {\omega ^2}{x_m}\]$
Для мгновенных значений - так: $\[{a} = - {\omega ^2}{x}\]$

[kis]

а для мгновенных значений скорости формула с минусом?

[miflin]

kis в сообщении #689396 писал(а):

а для мгновенных значений скорости формула с минусом?

Вот так понятнее?
$v=x_m\omega * [-\sin(\omega t+\varphi)]$

[rustot]

вы выбрали какое-то направление смещения от средней точки за положительное, допустим вправо. с этого момента и другие векторные величины, направленные вправо тоже считаются положительными, а влево - отрицательными

если тело движется вправо то его скорость с плюсом, если влево то с минусом. если тело двигаяся вправо увеличивает скорость по модулю или двигаясь влево уменьшает скорость по модулю то его ускорение направлено вправо и значит положительное, а если наоборот, то отрицательное

то есть минус в формуле означает "если тело смещено вправо (x>0) то его ускорение направлено влево (a<0). и наоборот"

[kis]

разобрался
$v = \omega x$ - по этой формуле не вычисляется мгновенная скорость, она неверна.
но формула для амплитуды $v_m = \omega X_m$ - правильная.

[Munin]

($\TeX$)

miflin в сообщении #689401 писал(а):

$v=x_m\omega * [-\sin(\omega t+\varphi)]$

Не пишите звёздочку, когда подразумеваете умножение. Используйте символы \cdot и \times , когда они подходят по смыслу: $ab,a\cdot b,a\times b.$ Звёздочка в математике используется в других смыслах, чаще всего - как обозначение свёртки функций, и практически никогда - как умножение: $a\ast b,a\star b.$ Наконец, смотрится она просто некрасиво, "по-программистски".

-- 02.03.2013 12:01:21 --

kis
В формуле для скорости минус - это просто дань тому, как вы выбрали формулу для координаты. Физически суть в том, что скорость обгоняет координату по фазе на четверть периода. А вот ускорение обгоняет координату по фазе на полпериода, поэтому знак минус в формуле для ускорения - "настоящий". Если отображать эти величины на единичной окружности, то ускорение будет изображено противоположным вектором по отношению к координате. А вот скорость - не противоположным, а повёрнутым на $\frac{\pi}{2}.$

Представим себе, что мы записали координату не через косинус, а через синус (при этом начальную фазу нужно выбрать другую, чтобы описать заданный график колебания):
$x=x_m\sin(\omega t+\varphi)$
Тогда скорость будет
$v=x'=x_m\omega\cos(\omega t+\varphi)$
Видите? Минус в формуле "исчез". Но надо обращать внимание не только на минус, но и на то, что вместо синуса стоит косинус. (А раньше, надо было обращать внимание на то, что вместо косинуса - синус.) В формуле ускорения минус всё равно "вылезает":
$a=x''=-x_m\omega^2\sin(\omega t+\varphi)$
Всё равно выполняется соотношение
$a=-x\omega^2$
в котором стоит "неистребимый" минус.

Наконец, эти же формулы можно записать и ещё одним способом. (Вернусь опять к косинусу в формуле координаты.)
$x=x_m\cos(\omega t+\varphi)$
$v=x'=x_m\omega\cos(\omega t+\varphi_v)$
где мы ввели новую фазу $\varphi_v=\varphi+\frac{\pi}{2}.$ Аналогично, дальше ускорение можно записать как
$a=x''=x_m\omega^2\cos(\omega t+\varphi_a)$
где $\varphi_a=\varphi_v+\frac{\pi}{2}=\varphi+\pi.$
Видите? Теперь минусы в явном виде вообще исчезли, "спрятались" и не мозолят глаз, но по сути они всё тут же присутствуют: $\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha,$ $a=-x\omega^2.$

На уровне нешкольной математики, такое соотношение, как между скоростью и координатой, иногда выражают при помощи комплексных чисел: $x=x_m e^{i(\omega t+\varphi)},$ $v=x'=ix_m\omega e^{i(\omega t+\varphi)},$ $v=ix\omega.$ В этой формуле множитель $i$ выполняет как раз роль "половины минуса". В действительных числах выразить это числовым множителем невозможно, и поэтому приходится выражать как "минус, и замена косинуса на синус".

-- 02.03.2013 12:06:42 --

rustot в сообщении #689440 писал(а):

то есть минус в формуле означает "если тело смещено вправо (x>0) то его ускорение направлено влево (a<0). и наоборот"

Суть в том, что для скорости нельзя записать столь же простого правила. Если тело смещено вправо, то скорость может быть направлена как вправо, так и влево - это зависит от фазы колебаний.

[kis]

да, большое спасибо. понял. координата и ускорение - в противофазе, а скорость - сдвинута на $\pi/2$