Решить рациональное уравнение.

[larkova_alina]

Решить уравнение $x^2+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=4$.
$(x-\frac{1}{x})^2-2+x+\frac{1}{x}=0$.
Случай $x>0:$
$(x-\frac{1}{x})^2+(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2=0 \Leftrightarrow $ $\begin{cases} x-\frac{1}{x}=0\\ \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=0 \end{cases} \Leftrightarrow x=1$. ($x=-1$ не удовлетворяет $x>0$)
А вот как разобраться со случаем $x<0$?

[AV_77]

К вас знак не правильный в скобках.

[larkova_alina]

Да вроде все правильно.

[mihailm]

Чтобы разобраться с отрицательными неизвестными, поставьте как сказал AV_77 в скобках плюс))

[AV_77]

larkova_alina в сообщении #688611 писал(а):

Да вроде все правильно.

Да, это я не точно выразился. Нужно в скобках получить сумму, потом все просто.

[larkova_alina]

$x<0.$
$(x+\frac{1}{x})^2=4+(\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{-x}})^2$
Так?

[AV_77]

Нет, зачем там корни? $\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$.

[larkova_alina]

А, поняла.
$(x+\frac{1}{x})^2+x+\frac{1}{x}=6$
$t=x+\frac{1}{x}<0$
$t^2+t-6=0$
$t=-3$
$x+\frac{1}{x}=3$
$x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.$

[bot]

larkova_alina в сообщении #688626 писал(а):

$t=x+\frac{1}{x}<0$

А почему $t<0$?

-- Ср фев 27, 2013 12:10:43 --

А, ну да - у Вас случай $x>0$ разобран ранее. Ну дык, а нужно ли его рассматривать отдельно?