Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка

[wronskian]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Дано нелинейное ДУ:

$$\frac{d^2 x}{d t^2} = x(1-x)$$

Вообще требуется узнать, существует ли решение краевой задачи

$$\begin{cases} x(0)=\alpha \\ \qquad\qquad\quad, b>0, \alpha , \beta = \operatorname{const} \\ x(b)=\beta \end{cases}$$

Я начал с того, что нашел неподвижные точки: $(0,0) - $седло и $(1,0) - $ центр. Далее построил фазовый портрет эквивалентной системы:

$$\begin{cases} \dot{x} = y \\ \dot{y} = x-x^2 \end{cases}$$

Вот как он выглядит в Mathematica:
Нашел первый интеграл системы:

$$ 3(y^2-x^2)+2x^3 = C $$

Вот теперь и трудность. Для решения краевой задачи мне нужно явное выражение для $x(t)$ . Как можно его вытащить из первого интеграла?
Буду признателен любым идеям.

[laptop]

вообще полезно действовать в лоб. к примеру понизить порядок уравнения. в ваше уравнение не входит переменная t. стандартной заменой x'=f(x) ...

[wronskian]

Дабы не дублировать тему, спрошу тут.

В общем решение выражается через эллиптические функции Якоби, да и оно мне не нужно так-то оказывается. Думаю, что надо доказать, что решение краевой задачи для этого нелинейного уравнения будет неединственно, т.к. в плоскости $xO\dot{x}$ на интервале $(\alpha;\beta)$ двигаясь по фазовым траекториям из $\alpha$ в $\beta$ можно прийти разными путями (по разным траекториям). Прав ли я?
Далее, как можно доказать, что при фиксированном $t$ могут существовать решения, которые становятся неограниченными? Может есть какой-либо метод? Всю голову уже сломал.

[Oleg Zubelevich]

достаточно нарисовать кривые уровня интеграла энергии на плоскости $x,\dot x$

[wronskian]

Oleg Zubelevich
Интеграл энергии имеет вид $E(x,y)=\frac {1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 - \frac {1}{2} y^2$, и ведь его кривые уровня в фазовой плоскости повторяют фазовые траектории. Неужели этих траекторий достаточно для доказательства того, что будут решения, которые уходят на бесконечность за конечное время? Это для меня не очевидно В какую сторону стоит еще копать, подскажите пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

я отвечал на вопрос

wronskian в сообщении #688522 писал(а):

ообще требуется узнать, существует ли решение краевой задачи

$$\begin{cases} x(0)=\alpha \\ \qquad\qquad\quad, b>0, \alpha , \beta = \operatorname{const} \\ x(b)=\beta \end{cases}$$

что касается ухода на бесконечность за конечное время -- то время движения по траектории выражается из интеграла энергии. У вас получится равенство вида $t-t_0=\int f(x)dx$ следите за сходимостью этого интеграла в особых точках