2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение26.02.2013, 18:50 
Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Дано нелинейное ДУ:
$$\frac{d^2 x}{d t^2} = x(1-x)$$

Вообще требуется узнать, существует ли решение краевой задачи
$$\begin{cases}
x(0)=\alpha \\
\qquad\qquad\quad, b>0, \alpha , \beta = \operatorname{const} \\
x(b)=\beta
\end{cases}$$

Я начал с того, что нашел неподвижные точки: $(0,0) - $седло и $(1,0) - $ центр. Далее построил фазовый портрет эквивалентной системы:
$$\begin{cases}
\dot{x} = y \\
\dot{y} = x-x^2
\end{cases}$$
Вот как он выглядит в Mathematica: Изображение
Нашел первый интеграл системы:
$$
3(y^2-x^2)+2x^3 = C
$$

Вот теперь и трудность. Для решения краевой задачи мне нужно явное выражение для $x(t)$ :facepalm: . Как можно его вытащить из первого интеграла?
Буду признателен любым идеям.

 
 
 
 Re: Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение27.02.2013, 05:53 
вообще полезно действовать в лоб. к примеру понизить порядок уравнения. в ваше уравнение не входит переменная t. стандартной заменой x'=f(x) ...

 
 
 
 Re: Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение03.04.2013, 16:09 
Дабы не дублировать тему, спрошу тут.

В общем решение выражается через эллиптические функции Якоби, да и оно мне не нужно так-то оказывается. Думаю, что надо доказать, что решение краевой задачи для этого нелинейного уравнения будет неединственно, т.к. в плоскости $xO\dot{x}$ на интервале $(\alpha;\beta)$ двигаясь по фазовым траекториям из $\alpha$ в $\beta$ можно прийти разными путями (по разным траекториям). Прав ли я?
Далее, как можно доказать, что при фиксированном $t$ могут существовать решения, которые становятся неограниченными? Может есть какой-либо метод? Всю голову уже сломал.

 
 
 
 Re: Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение03.04.2013, 17:21 
достаточно нарисовать кривые уровня интеграла энергии на плоскости $x,\dot x$

 
 
 
 Re: Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение03.04.2013, 17:30 
Oleg Zubelevich
Интеграл энергии имеет вид $E(x,y)=\frac {1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 - \frac {1}{2} y^2$, и ведь его кривые уровня в фазовой плоскости повторяют фазовые траектории. Неужели этих траекторий достаточно для доказательства того, что будут решения, которые уходят на бесконечность за конечное время? Это для меня не очевидно :? В какую сторону стоит еще копать, подскажите пожалуйста.

 
 
 
 Re: Краевая задача для нелинейного ОДУ 2 порядка
Сообщение03.04.2013, 18:02 
я отвечал на вопрос
wronskian в сообщении #688522 писал(а):
ообще требуется узнать, существует ли решение краевой задачи
$$\begin{cases} x(0)=\alpha \\ \qquad\qquad\quad, b>0, \alpha , \beta = \operatorname{const} \\ x(b)=\beta \end{cases}$$


что касается ухода на бесконечность за конечное время -- то время движения по траектории выражается из интеграла энергии. У вас получится равенство вида $t-t_0=\int f(x)dx$ следите за сходимостью этого интеграла в особых точках

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group