будет ли метрич. пространством.. (преподаватель не засчитыва

[misha sviridov]

Будет ли метрическим пространством семейство всех непустых подмножеств метрического пространства М,если расстояние между множествами А,В входящие в М определить равенством:p(A,B)=inf p(х,у),где х в А, у в В..??

я привел пример А входяшего в В, тогда р(А,В)=0 ,но А не равно В, откуда следует, по первой аксиоме метрики, что это семейство не будет метрическим пространством..

может я что-то совсем не понимаю..или приведите еще какие-ть примеры..
спасибо за уделенное время..просто, зачеты,зачеты..))

[neo66]

Неравенство теугольника тоже не всегда выполняется.
Например, метрическое пространство -$\mathbb{R}$ с обычной метрикой, а 3 подмножества - любые 3 непересекающиеся отрезка.

Может быть, Вы неправильно поняли условие?

[misha sviridov]

все правильно..задача очень типичная, попадалась мне еще, когда в лицее учился, в классе 9-10..

[RIP]

А преподаватель как-нибудь аргументирует отказ засчитать задачу? Может быть, дело в том, что иногда всё-таки получается метрическое пространство (кстати, в каких случаях?)

[misha sviridov]

да нет, особенно ничего не говорил..просто сказал.что мол..как метрику брать??что-то в таком духе..

[misha sviridov]

А можно ли как-ть иначе выбрать метрику,чтобы это семейство подмножеств было метрическим пространством??

[Brukvalub]

Любое непустое множество становится метрическим пространством после введения метрики:

\[\rho (x\;;\;y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\;,\;x = y} \\ {1\;,\;x \ne y} \\\end{array}} \right.\]

, я уже написал Вам об этом в Вашей соседней теме.

[neo66]

misha sviridov писал(а):

А можно ли как-ть иначе выбрать метрику,чтобы это семейство подмножеств было метрическим пространством??

Есть такая метрика! (Правда на множестве всех компактных подмножеств метрического пространства) Метрика Хаусдорфа

[Brukvalub]

Вот как там написано: "Пусть X и Y суть два компактных подмножества метрического пространства M. Тогда расстояние по Хаусдорфу, dH (X,Y), между X и Y есть минимальное число r такое что замкнутая r-окрестность X содержит Y и также замкнутая r-окрестность Y содержит X."
Вся беда в том, что требовалось-то

misha sviridov писал(а):

выбрать метрику,чтобы это семейство подмножеств было метрическим пространством??

, и ни о какой компактности подмножеств речи не велось

[neo66]

Уже поправился, но было поздно .

[misha sviridov]

..)) спасибо..зачет-дело хорошее..))