Сумма трёх квадратов

[Ktina]

$m, n, k$ -- три натуральных числа, сумма квадратов которых равна 1993.
Доказать, что $m+n+k$ -- не квадрат.

Интересно то, что если "натуральные" заменить на "целые", можно получить квадрат:

$$33^2+(-30)^2+(-2)^2=1089+900+4=1993,\quad\text{но}\quad 33-30-2=1=1^2$$

А как с натуральными решать?

[gris]

Год плохой. В 2014 эта Ваша задача не пройдёт!

[Ktina]

gris в сообщении #687355 писал(а):

Год плохой. В 2014 эта Ваша задача не пройдёт!

Я отсюда взяла: http://www.imocompendium.com/othercomp/Rom/RomTST93.pdf
Первый тест (второй сверху), задача 2.

[gris]

Вообще, если чисто наглядно, то это целочисленные точки на октанте сферы, которые, к тому же, лежат на некоторых плоскостях. Если подзажмурится посильнее, то видно, что тут дела с чётностью. Хотя там ещё возможна сумма 49 с краюшку. Но она не даёт близких к нам годов.

[Shadow]

Если нашли кнтрапример с целыми, значит только соображения по модулям недостаточны..но все же две числа делятся на 3, третьее имеет вид $9k\pm 2$
Получится что-то $x^2+y^2+9k^2\pm 4k=221$
Вряд ли составители имели ввиду перебор, но...

[Cash]

Перебор здесь есть, но небольшой. $m+n+k \leq 3 \sqrt{\frac {m^2+n^2+k^2}{3}}<81$
С другой стороны $m+n+k>\sqrt{m^2+n^2+k^2}>44$
Прикручиваем четность и получаем, что $m+n+k =49$
А здесь перебор совсем небольшой. Большее число не меньше 43 и меньше 45.

[Shadow]

Cash,

[Ktina]

Cash,
Спасибо!
Действительно красивое решение.