Тригонометрическое уравнение

[Ktina]

Уравнение

$$a^{\cos x}=\sin x$$

имеет два корня в интервале $(0,\pi)$
Какие вещественные значения может принимать $a$?

[gris]

Интересненько. Больше двух корней быть не может, да их и будет два, если $a$ достаточно маленькое или большое. А вот в районе единички все возможно. Один корень, а может быть и ноль корней.

[Ktina]

gris в сообщении #686658 писал(а):

Интересненько. Больше двух корней быть не может, да их и будет два, если $a$ достаточно маленькое или большое. А вот в районе единички все возможно. Один корень, а может быть и ноль корней.

Неужели ноль корней может быть?

[gris]

А почему нет? Это надо графики смотреть, а мне сейчас нечем. Или аналитически.
Ноль считается, интересно? Можно его в действительную степень возводить?

а, точно, я чего-то неправильно представил себе картинку. Один-то корень очами виден. Пи пополам. Значит, кроме 1 всегда два корня.

[Ktina]

gris в сообщении #686662 писал(а):

А почему нет?

Потому что любое число в степени нуль это единичка.

-- 21.02.2013, 15:26 --

gris в сообщении #686662 писал(а):

Ноль считается, интересно? Можно его в действительную степень возводить?

Можно, только толку мало. Так как синус на искомом интервале нулевым не будет.

[gris]

А, там ещё и без концов. Ну тогда $a$ положительное, кроме единички.

[Ktina]

gris в сообщении #686666 писал(а):

А, там ещё и без концов.

(Оффтоп)

Ну так задача-то с Ближнего Востока

-- 21.02.2013, 15:59 --

gris в сообщении #686666 писал(а):

Ну тогда $a$ положительное, кроме единички.

Вот я тоже так думаю (именно думаю, потому что строго не доказала пока). Сейчас напишу, почему.

-- 21.02.2013, 16:06 --

Из соображений монотонности.
Если $a>1$, один корень у нас есть. Это $x=\frac{\pi}{2}$, так как $b^0=1$
Далее, на интервале $\frac{\pi}{2}, \pi$ синус монотонно убывает от 1 до 0, а $a^{\cos x}$ монотонно убывает от 1 до $c>0$
Аналогично, если $0<a<1$
Если $a=1$, у нас один корень.
При $a=0$ корней нет вообще, так как синус на искомом интервале ненулевой.
Если же $a<0$, там, вроде нецелая степень не определена.

-- 21.02.2013, 16:22 --

Там одной монотонности, к сожалению, не достаточно.

[gris]

Может быть использовать выпуклость?

[Ktina]

gris в сообщении #686697 писал(а):

Может быть использовать выпуклость?

Вроде, да. Синус на этом интервале всегда выпуклый, а степень вогнутая.

[VPro]

Самое простое - после замены $y=\cos x$, перейти к уравнению $a^y=\sqrt{1-y^2}$, при $-1<y<1$.

[Keter]

$\forall x \in (0; \pi) \quad \sin x >0 \Rightarrow a>0.$

$\cos x= \log_a \sin x, \quad a \in (0; 1) \cup (1; +\infty).$

Всегда два решения, потому что:

$x=\dfrac{\pi}{2}$ - общая точка функций;
$\log_a \sin x$ при $a \in (0; 1)$ пересекает $\cos x$ на участке $\bigg(0; \dfrac{\pi}{2} \bigg);$
при $a>1$ из-за того, что синус принимает одинаковые значения на $\bigg(0; \dfrac{\pi}{2} \bigg)$ и $\bigg(\dfrac{\pi}{2}; \pi \bigg),$ достигая единицы и в обратном порядке, $\log_a \sin x$ доходит до $x=\dfrac{\pi}{2}$ и переворачивается, то есть пересекает $\cos x,$ но уже на участке $\bigg(\dfrac{\pi}{2}; \pi \bigg).$