Найти многочлены

[victor1991]

$ y = \cos3(\arccos x), y = \cos4(\arccos x), y = \cos{n(\arccos x)} $,
где $|x| \leqslant 1 $

[devgen]

Это, вроде бы, полиномы Чебышева. И, вроде бы, там не $x$, а $z$

[ewert]

Воистину Чебышёва и аминь. Мгновенно можно найти по рекуррентному соотношению $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$. Хотя в задачке, не исключено, предполагался прямой счёт; ну это тоже не бог весть какой бином Ньютона.

[nnosipov]

devgen в сообщении #686969 писал(а):

И, вроде бы, там не $x$, а $z$

Неважно, какая там буква, важно, что действительно получатся многочлены (Чебышёва 1-го рода). Для доказательства достаточно составить рекуррентное соотношение.

[ewert]

А, пардон, там предлагалось найти ещё и $ \cos{n(\arccos x)} $. Ну это с практической точки зрения мало того что маловозможно (в явном виде), но, что ещё хуже -- практически ровно никому и не нужно.

[devgen]

Можно через формулу Муавра и бином Ньютона указать ряд, вроде бы

[nnosipov]

ewert в сообщении #686974 писал(а):

Ну это с практической точки зрения мало того что маловозможно (в явном виде)

Ну, формула с биномиальными коэффициентами всё же есть в справочнике. Даёт представление о величине коэффициентов многочлена Чебышёва, что иногда нужно.

[ewert]

nnosipov в сообщении #686981 писал(а):

Даёт представление о величине коэффициентов многочлена Чебышёва, что иногда нужно.

Т.е. даёт представление о том, что в явном виде те коэффициенты никому и нафик не нужны, ибо с ними погрешность округления откровенно зашкаливает, в отличие от вычислений по рекуррентности. Ну т.е. практически вовсе никому не нужны, разве что из спортивного интереса.

[nnosipov]

Я имел в виду не приближённое вычисление значений многочлена Чебышёва по этой явной формуле, это действительно никому не нужно. Важны коэффициенты сами по себе, поскольку, например, дают решение некоторых экстремальных задач про многочлены. Вообще, формулы в справочниках пишут не просто так или для красоты. И раз уж она там есть, то, наверное, небесполезна.

[ewert]

nnosipov в сообщении #687013 писал(а):

коэффициенты сами по себе, поскольку, например, дают решение некоторых экстремальных задач про многочлены.

Этого я совершенно не понимаю. Да, конечно, чебышёвские многочлены имеют очень важное отношение ко всяким там экстремальностям.

Но -- именно сами по себе, именно как некие многочлены вообще. А вот каким боком сюда способны прислониться их конкретные коэффициенты?...

(типа $2^{n-1}$ и прочую подобную лирику просьба не предлагать -- она к делу отношения не имеет)

[nnosipov]

Лень мне выискивать другие примеры экстремальных задач (см. Марков, Натансон, Бернштейн и т.д.), поэтому пишу первое, что приходит в голову: найти максимум суммы модулей коэффициентов многочлена степени $n$ при условии, что его (многочлена) отклонение от нуля на заданном отрезке (например, $[0;1]$ или $[-1;1]$) не превосходит единицы. Вот, чтобы этот максимум оценить, и пригодятся явные формулы для коэффициентов многочлена Чебышёва.

ewert в сообщении #687027 писал(а):

(типа $2^{n-1}$ и прочую подобную лирику просьба не предлагать -- она к делу отношения не имеет)

Это о чём? Не понимаю.

Заглянул в Натансона ("Конструктивная теория функций", ГИТТЛ, 1949): на стр. 80-83 есть более простой пример --- теорема В.А. Маркова и её следствия.