Сумма целых частей

[DjD USB]

Найти сумму:

$$[\frac{2^0}{3}] +[\frac{2^1}{3}]+....+[\frac{2^{1000}}{3}]$$

[xmaister]

$2^n\equiv \pm 1\pmod{3}$

[DjD USB]

xmaister в сообщении #686877 писал(а):

$2^n\equiv \pm 1\pmod{3}$

И что это дает?

[Sonic86]

DjD USB, задача может выглядеть необычной, но она простая.
Сделайте хоть какое-то преобразование данной суммы.

[xmaister]

DjD USB в сообщении #686881 писал(а):

И что это дает?

Это дает возмоность выкинуть целые части и суммировать 2 геометрические прогрессии.

[ИСН]

Зачэм две? Одну.

[xmaister]

Да, одну. Я тупанул.

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #686882 писал(а):

DjD USB,
Сделайте хоть какое-то преобразование данной суммы.

$[\frac{3k+1}{3}]+[\frac{3m-1}{3}]+.....$

[Whitaker]

DjD USB
Вам xmaister подсказал идеальный вариант. Так пользуйтесь им: при четном $n$ имеем $2^n\equiv 1 \pmod 3$, а при нечетном $n$ будет $2^n\equiv -1 \pmod 3$

[DjD USB]

Whitaker в сообщении #686944 писал(а):

DjD USB
Вам xmaister подсказал идеальный вариант. Так пользуйтесь им: при четном $n$ имеем $2^n\equiv 1 \pmod 3$, а при нечетном $n$ будет $2^n\equiv -1 \pmod 3$

Я не понимаю, как этим пользоваться здесь.

[xmaister]

DjD USB
Вы троллите чтоли?

[DjD USB]

xmaister в сообщении #686950 писал(а):

DjD USB
Вы троллите чтоли?

Нет.

[Whitaker]

У Вас есть такая сумма

$$\left[\dfrac{2^0}{3}\right]+\left[\dfrac{2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\dots+\left[\dfrac{2^{1000}}{3}\right]$$

напишите $\left[\dfrac{2^k}{3}\right]=\dfrac{2^k}{3}-\left\{\dfrac{2^k}{3}\right\}$ и учтите, что $\{x+k\}=\{x\}$ при $\forall k\in \mathbb{Z}$

[Sonic86]

Эх, а я хотел, чтобы DjD USB до этого сам догадался.

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #686950 писал(а):

Вы троллите чтоли?

ТС сейчас кажется школьник, максимум первокурсник, попробуйте это учитывать при ответе.

[devgen]

$2^{2n}\equiv 1 \pmod 3$ означает, что число $2^{2n}-1$ делится на 3 без остатка
$2^{2n+1}\equiv (-1) \pmod 3$[/math] означает, что число $2^{2n}-(-1)$ делится на 3 без остатка

Выпишете несколько членов последовательности и посмотрите, как соотносятся целые части от $2^{2n}/3$ и $(2^{2n}-1)/3$ ну и для $2n+1$ также.

(Оффтоп)

Я извиняюсь, что написал еще раз, то что было уже сказано, просто мне показалось ТС не привык к обозначениям типа \pmod и [], {}