задача с интегралом

[Pyphagor]

Пусть $f(x)$ - непрерывная на $ [0,1] $ функция такая, что
для некоторого бесконечного множества натуральных $n$, верно,

$$\int_{0}^{1} f(x)x^n dx=0$$

Доказать, что $f(1)=0$

[Brukvalub]

Рассуждайте от противного и используйте тот факт, что на любом отрезке [0 ; p] , 0<p<1 последовательность

\[x^n\]

равномерно сходится к 0.

[Gordmit]

Если предположить противное, т.е. $f(1)=a\neq 0$ (для определенности, скажем, $a>0$), то в силу непрерывности найдется такое $\delta>0$, что при $x>1-\delta$ будет $f(x)>\frac{a}{2}$. Разбиваем интеграл по отрезку $[0,1]$ на два интеграла по отрезкам $[0,1-\delta]$, $[1-\delta,1]$. Первый в силу ограниченности функции $f(x)$ на отрезке выбором достаточно больших $n$ можно сделать сколь угодно малым, а второй будет при всех $n$ больше некоторой константы. Отсюда получится противоречие с тем, что $\int\limits_0^1 f(x)x^n\,dx=0$.