2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача с интегралом
Сообщение05.06.2007, 10:43 
Пусть $f(x)$ - непрерывная на $ [0,1] $ функция такая, что
для некоторого бесконечного множества натуральных $n$, верно,
$$\int_{0}^{1} f(x)x^n dx=0$$
Доказать, что $f(1)=0$

 
 
 
 
Сообщение05.06.2007, 13:22 
Аватара пользователя
Рассуждайте от противного и используйте тот факт, что на любом отрезке [0 ; p] , 0<p<1 последовательность \[x^n\] равномерно сходится к 0.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2007, 13:38 
Если предположить противное, т.е. $f(1)=a\neq 0$ (для определенности, скажем, $a>0$), то в силу непрерывности найдется такое $\delta>0$, что при $x>1-\delta$ будет $f(x)>\frac{a}{2}$. Разбиваем интеграл по отрезку $[0,1]$ на два интеграла по отрезкам $[0,1-\delta]$, $[1-\delta,1]$. Первый в силу ограниченности функции $f(x)$ на отрезке выбором достаточно больших $n$ можно сделать сколь угодно малым, а второй будет при всех $n$ больше некоторой константы. Отсюда получится противоречие с тем, что $\int\limits_0^1 f(x)x^n\,dx=0$.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group