Об обратном операторе

[sharynsir]

Пусть $E$ --- бесконечномерное банахово пространство. Если известно, что инъективный оператор $A: E\mapsto E$ плотно задан с плотной областю значений, то что можно сказать об обратном операторе? Будет ли он ограничен?

[ewert]

sharynsir в сообщении #686768 писал(а):

инъективный оператор $A: E\mapsto E$ плотно задан

$A: E\mapsto ...$ фактически противоречит словосочетанию "плотно задан". Изъясняйтесь яснее.

-- Чт фев 21, 2013 23:03:03 --

Ладно. Поднапрягши все свои телепатические способности, скажу конкретнее. Нет. Очевидный контрпример -- это просто оператор дифференцирования в $L_2(\mathbb R)$. Он и очевидно плотно задан, и очевидно взаимно однозначен, и с областью значения всё тем более очевидно. А вот насчёт ограниченности -- увы что в одну, что в другую сторону.

[sharynsir]

Конечно имелось ввиду $A:D(A)\mapsto R(A)$, где $\overline{D(A)}=E$ и $\overline{R(A)}=E$ ... Спасибо!