Пересечение прямых

[Keter]

Есть две прямые:

$$\dfrac{x}{1/3a}=\dfrac{y}{a}=\dfrac{z-2/3a}{-2/3a}$$

$$\dfrac{x}{1/3a}=\dfrac{y}{a}=\dfrac{z}{0}$$

Найти точку пересечения.

Как это вообще делается?

-- 19.02.2013, 22:59 --

Корректно ли в работах писать $\dfrac{z}{0}$ ?

[mihailm]

заменить каждое двойное равенство двумя (применив правило пропорций) и решать.
будет четыре уравнения и три неизвестных

[Алексей К.]

Keter в сообщении #685899 писал(а):

Корректно ли в работах писать $\dfrac{z}{0}$ ?

Обсуждалось здесь.

[Keter]

Алексей К., спасибо.

-- 20.02.2013, 02:37 --

mihailm, а если сделать следующую штуку:
(там еще опечатка - в знаменателе, там где z, будет -1/3)

$$\dfrac{x}{1/3a}=\dfrac{y}{a}=\dfrac{z-2/3a}{-1/3a}=t, \quad q: \begin{cases} x=1/3 at, \\ y=at, \\ z=-1/3at+2/3a. \end{cases}$$

$$\dfrac{x}{1/3a}=\dfrac{y}{a}=\dfrac{z}{0}=t, \quad p: \begin{cases} x=1/3 at, \\ y=at, \\ z=0. \end{cases}$$

Значит координаты точки $K=q \cap p$ будут иметь вид $x=1/3 at, y=at, z=0,$ а $t$ мы найдём из $-1/3at+2/3a=0, t=2.$
$K(2/3a; 2a; 0)$

-- 20.02.2013, 02:41 --

Если взять две точки $K(2/3a; 2a; 0)$ и $K'(4a; 2a; 0)$, и провести через них прямую.

Потом взять еще две точки $L(0; a; 0)$ и $L'(a; a; 0)$, и через них также провести прямую.

Как можно выяснить: параллельны ли прямые $KK'$ и $LL'$? Какой самый короткий способ?

[Алексей К.]

Ваши эти штуки $1/3at$ вызывают недоумение (никогда такого в книгах не попадалось). Если это $1/(3at)$, то надо или писать $\frac1{3at}$, или скобки ставить. А по формальному, насколько я помню, деление и умножение имеют одинаковый приоритет (как и последовательность + и -), и в любой программе это бы трактовалось как $1/3\cdot a\cdot t$. Но это без недоумений тоже записывают по-другому: $at/3$.

-- 20 фев 2013, 12:59:04 --

После присматривания становится понятно, что речь идёт о $\pm at/3$ и $2a/3$. Неужели такую манеру школьные учебники используют?

[Алексей К.]

Следовало бы взять разные параметры, t и u для двух прямых, и потом установить соответствие $t(u)$. Ведь далеко не всегда оно будет таким простым, как здесь, $t=u$.

[Keter]

Алексей К., да, там именно $\dfrac{at}{3}$ ну и остальные, учту.

А что на счет:
Если взять две точки $K(2/3a; 2a; 0)$ и $K'(4a; 2a; 0)$, и провести через них прямую.

Потом взять еще две точки $L(0; a; 0)$ и $L'(a; a; 0)$, и через них также провести прямую.

Как можно выяснить: параллельны ли прямые $KK'$ и $LL'$? Какой самый короткий способ?

-- 20.02.2013, 15:57 --

Можно утверждать, что прямые $KK'$ и $LL'$ параллельны, так как у точек ординаты одинаковые -- у первых 2a, у вторых -- a, и z=0 ?

[Алексей К.]

Естественный способ решения сразу указал mihailm. Будет решение у системы --- будет и общая точка у прямых.

Keter в сообщении #686194 писал(а):

Как можно выяснить: параллельны ли прямые $KK'$ и $LL'$? Какой самый короткий способ?

Ну что может быть проще, чем выяснить пропорциональность компонент направляющих векторов, типа

$$(a_1,b_1,c_1)=(Ma_2,Mb_2,Mc_2),\quad M\ne 0\; ?$$

А про те дополнительные прямые, и какое они имеют отношение к задаче, я не понял.

[Keter]

Алексей К., я сразу нашел координаты точек так, как указал mihailm. Затем по-своему попробовал. Результаты совпали. Но с этим я уже разобрался. Тут вопросов нет.
Теперь про дополнительные прямые. Это просто вопрос. Я взял 4 точки(их координаты я указал), провел две прямые. И возник вопрос: а параллельны ли эти прямые?

$K(2/3a; 2a; 0)$ и $K'(4a; 2a; 0)$
тут каждая точка прямой $KK'$ будет иметь ординату $2a$, так ведь?
$L(0; a; 0)$ и $L'(a; a; 0)$
а тут ордината произвольной точки на прямой $LL'$ будет $a$.

Из этого можно сделать вывод, что $KK' \parallel LL'$?

[Алексей К.]

Из этого можно сделать вывод, что первая прямая лежит в плоскости $y=2a$, а вторая --- в параллельной плоскости $y=a$. Для вывода о параллельности прямых этого, очевидно, недостаточно (возьмите $a=0$ --- плоскости не только параллельны, но и совпадают; и что же, любые две прямые параллельны?).
Ну там можно помудрить, заметив не только одинаковость ординат, но и одинаковость аппликат.
Но проще посмотреть универсально:

$$\begin{array}{l}\vec{KK'}=(4a-2a/3;2a-2a;0)=(10a/3;0;0);\\[1ex]\vec{LL'}=(-a;0;0)=-\frac3{10}\vec{KK'}.\end{array}$$

Вектора одинаковы (с точностью до масштаба и вперёд-назад), прямые параллельны.

[Keter]

Алексей К., коэффициент $a$ задан. Если брать начало координат $O(0; 0; 0)$, а $a=3$, то $L(0; 3; 0),$ и $|OL|=3,$ например.