Деление на ноль и аналитическая геометрия

[weather_wise]

В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя. А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"?

[meduza]

Каноническое уравнение прямой -- лишь символическая запись, 0 в знаменателе только показывает соответствующую координату направляющего вектора.

[AKM]

weather_wise в сообщении #241531 писал(а):

В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя.

Надеюсь, в ВУЗе им не вдалбливают обратное...

Цитата:

А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"?

Возможно, так: уравнение

$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c,$$

естественно, справедливо только при $a,b,c\not=0$. Условно его пользуют и для случая, когда одна-две компоненты направляющего вектора равны нулю, понимая под этим, что из дополненного уравнения

$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c=\color{blue} t$$

получаются правильные параметрические уравнения прямой $[x=f_x(t),\:y=f_y(t),\:z=f_z(t)]$.
Возможно, так?

[ewert]

Правильная версия такая. Дескать, дети, делить на ноль, конешно, низзя. Но. Если формально перенести все нехорошие ноли в противоположные части -- получатся вполне осмысленные выражения. Вот ровно в этом смысле и следует понимать соотношения исходные.

[Профессор Снэйп]

AKM в сообщении #241542 писал(а):

Как правильно объяснить сей "парадокс"?
Возможно, так: уравнение

$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c,$$

естественно, справедливо только при $a,b,c\not=0$. Условно его пользуют и для случая, когда одна-две компоненты направляющего вектора равны нулю, понимая под этим, что из дополненного уравнения

$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c=\color{blue} t$$

получаются правильные параметрические уравнения прямой $[x=f_x(t),\:y=f_y(t),\:z=f_z(t)]$.
Возможно, так?

Может, стоит заменить "каноническую" форму уравнения системой

$$ \left\{ \begin{array}{lcr} b(x-x_0) &=& a(y-y_0) \\ c(x-x_0) &=& a(z-z_0) \\ c(y-y_0) &=& b(z-z_0) \end{array} \right. $$

Ведь особо большого смысла в канонической записи нет. Единственное преимущество заключается в том, что пишется всё в одну строчку.

Добавлено позднее

Н-да... А чем плоха формула

$$ bc(x-x_0) = ac(y-y_0) = ab(z-z_0) $$

Тоже ведь в одну строчку, и вроде всё учтено.

[VAL]

weather_wise в сообщении #241531 писал(а):

В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя. А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"?

Я обычно говорю, что соответствующее выражение следует понимать как пропорцию, которая определяется не через деление, а через умножение.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #242357 писал(а):

Ведь особо большого смысла в канонической записи нет.

Зато есть очень большой смысл в параметрической записи (откровенно эквивалентной канонической). Это -- уравнения равномерного движения точки вдоль прямой.

А вот предложенная Вами система -- и впрямь ни уму ни сердцу. Ну разве что как-то особо исхитриться...

[terminator-II]

теме этой место не здесь , а в "помогите решить..."
каноническое уравнение прямой пришло из проективной геометрии, именно там и разъясняется геометрическая природа этого "деления на ноль"
в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно, вместо него можно использовать параметрическое уравнение прямой.

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #242914 писал(а):

в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно, вместо него можно использовать параметрическое уравнение прямой.

Ага. Если б мне дали прочитать курс ангема, я бы параметрическим уравнением и обошёлся. Ну ещё бы аналитическое задание прямой как пересечение двух плоскостей рассмотрел.

[ewert]

terminator-II в сообщении #242914 писал(а):

в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно,

Нужно. И не только по традиции, но и хотя бы потому, например, что оно на плоскости сразу даёт уравнение прямой, проходящей через две точки. (В пространстве тоже, конечно, но там система получается несколько неуклюжей, а вот на плоскости эту формулу можно считать обязательной.)

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #242357 писал(а):

Н-да... А чем плоха формула

$$ bc(x-x_0) = ac(y-y_0) = ab(z-z_0) $$

Тем, что уравнение $\frac{x-x_0}1=\frac{y-y_0}0=\frac{z-z_0}0$, которое должно определять прямую
\(\begin{cases}y-y_0=0,\\ z-z_0=0,\end{cases}\)
превращается в $0=0=0$.

Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического, предполагая, что все координаты направляющего вектора ненулевые, а потом говорю, что, поскольку уравнение удобное, им пользуются и тогда, когда некоторые (но не все) координаты равны $0$, и объясняю, как его интерпретировать в этом случае.

[ewert]

Someone в сообщении #243947 писал(а):

Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического,

А я, кстати, ровно наоборот. Исходя из того, что канонические уравнения геометрически очевидны (проблемы с нулями в знаменателе на тот момент можно проигнорировать). А потом приписываем к той цепочке равенств параметр справа, и -- бац.

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #243947 писал(а):

Тем, что уравнение...превращается в $0=0=0$.

Н-да, действительно, недоглядел Получается, что только система.

[terminator-II]

ewert в сообщении #243093 писал(а):

Нужно. И не только по традиции, но и хотя бы потому, например, что оно на плоскости сразу даёт уравнение прямой, проходящей через две точки

параметрическое уравнение тоже дает;
а может лучше уравнение прямой проходящей через две точки и уравнение плоскости проходящей через три точки писать в терминах определителей.

ewert в сообщении #243949 писал(а):

Someone в сообщении #243947 писал(а):

Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического,

А я, кстати, ровно наоборот. Исходя из того, что канонические уравнения геометрически очевидны

параметрическое уравнение тоже геометрически очевидно. А главное оно записывается в инвариантной форме: $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_A+t\overrightarrow{a}$ ($\overrightarrow{a}$ -- направляющий вектор прямой, $\overrightarrow{r}_A$ -- радиус вектор точки через которую проходит прямая.
Если очень хочется что бы прямая проходила через точки $A,B$ можно так $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_A+t\overrightarrow{AB}$
или даже так $\overrightarrow{r}=t\overrightarrow{r}_A+(1-t)\overrightarrow{r}_B$

[ewert]

terminator-II в сообщении #244429 писал(а):

параметрическое уравнение тоже геометрически очевидно.

Это всё верно, конечно. Но: каноническое уравнение на плоскости даёт готовый ответ, и притом сразу, и притом в окончательной форме (особые случаи никому не интересны). А уравнения на плоскости -- практически и среднестатистически гораздо важнее, чем в пространстве, это опыт показывает. Ну и.