Найти сумму ряда

[Gordmit]

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{a^k-1}$$

, $a>1$.

Не могу сообразить, как это сделать...

[Lion]

Попробуйте разложить $\frac{1}{a^k-1}$ в бесконечную сумму и переставить порядки суммирования.

[RIP]

Не считается. Можно выразить через ряд Эйзенштейна веса 2 $E_2(\tau)$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series

[Gordmit]

Спасибо! Оттуда, кстати, следует, что этот ряд фактически задает производящую функцию для количества делителей, т.е.

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{k=1}^\infty\frac{kx^k}{1-x^k}=\sum_{k=1}^\infty\sigma(n)x^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma(n)}{a^n},\quad a>1,\quad x=\frac{1}{a}<1.$$

Интересно, это можно как-нибудь попроще показать?..

[RIP]

Gordmit писал(а):

Интересно, это можно как-нибудь попроще показать?..

Вы имеете в виду равенство $\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma(n)}{a^n}$? Так надо просто последовать совету Lionа:

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{l=1}^\infty\frac{k}{a^{kl}}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k|n}\frac{k}{a^n}.$$

[Gordmit]

Действительно, очень просто и прозрачно.
Когда я в первый раз следовал совету Lion-а, то свел свой ряд к ряду типа

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{(1-x^n)^2}$$

, а этого

RIP писал(а):

$$\sum_{k=1}^\infty\sum_{l=1}^\infty\frac{k}{a^{kl}}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k|n}\frac{k}{a^n}$$

не заметил...

Еще раз спасибо за ответы, RIP и Lion.