2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму ряда
Сообщение03.06.2007, 23:52 
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{a^k-1}$$, $a>1$.

Не могу сообразить, как это сделать... :?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 11:03 
Аватара пользователя
Попробуйте разложить $\frac{1}{a^k-1}$ в бесконечную сумму и переставить порядки суммирования.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 17:50 
Аватара пользователя
Не считается. Можно выразить через ряд Эйзенштейна веса 2 $E_2(\tau)$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 21:27 
Спасибо! Оттуда, кстати, следует, что этот ряд фактически задает производящую функцию для количества делителей, т.е.

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{k=1}^\infty\frac{kx^k}{1-x^k}=\sum_{k=1}^\infty\sigma(n)x^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma(n)}{a^n},\quad a>1,\quad x=\frac{1}{a}<1.$$

Интересно, это можно как-нибудь попроще показать?..

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 21:50 
Аватара пользователя
Gordmit писал(а):
Интересно, это можно как-нибудь попроще показать?..

Вы имеете в виду равенство $\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma(n)}{a^n}$? Так надо просто последовать совету Lionа:
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{a^k-1}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{l=1}^\infty\frac{k}{a^{kl}}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k|n}\frac{k}{a^n}.$$

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 21:57 
Действительно, очень просто и прозрачно.
Когда я в первый раз следовал совету Lion-а, то свел свой ряд к ряду типа $$\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{(1-x^n)^2}$$, а этого
RIP писал(а):
$$\sum_{k=1}^\infty\sum_{l=1}^\infty\frac{k}{a^{kl}}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k|n}\frac{k}{a^n}$$
не заметил...

Еще раз спасибо за ответы, RIP и Lion.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group