Алгебраическая геометрия

[tymur]

Доброй ночи! Упорно стараюсь разобраться с алгемом, но что-то не идет. Нужна помощь!
Пусть $k=\bar k$, $f: \mathbb A_k^1 \rightarrow \mathbb A_k^2$ отображение, заданное формулой $f(t)=(t^2,t^3)$. Нужно показать, что $f$ биекция на свой образ, но образ $f$ не изоморфен $\mathbb A^1$.

Спасибо!

[Joker_vD]

По первому: Если $t^2=t'^2$ и $t^3=t'^3$, то поделив второе на первое, получим искомое.
По второму: Доказывайте, что $k[x,y]/(x^3-y^2)\not\cong k[x]$.

[tymur]

Спасибо большое! Со вторым пунктом так до конца не разобрался. Подскажите, пожалуйста, как доказать, что они не изоморфны?

[apriv]

Предположите, что они изоморфны, и посмотрите, куда переходят при этом изоморфизме образующие одного из этих колец — окажется, что они должны перейти в какие-то элементы другого кольца с удивительными свойствами, которых не бывает.

[tymur]

Пусть $x\rightarrow a, y\rightarrow b, x^3=y^2$, получается $a^3=b^2$. А что в этом плохого?

[apriv]

А что такое $a$ и $b$ по своей природе? Что Вы про них можете сказать, и будет ли такое отображение изоморфизмом?

[tymur]

А почему нельзя, например $a=x^2, b=x^3$?

[apriv]

Ежели это изоморфизм, то какой-то многочлен от двух переменных должен переходить в $x$. Интересно, какой же.