Где посмотреть вывод значения дзета-функции в четных n?

[Alextp]

В частности известно что $\zeta(2) = \pi^2/6$. Где про этот вывод почитать в инете?
Хотя бы про $n=2$ если есть такой простой вывод.

[ИСН]

Через ряды Фурье делается, например.

-- Вт, 2013-02-19, 23:47 --

для функции $x^2$

[Alextp]

del

[apriv]

Alextp в сообщении #685902 писал(а):

Глупый вопрос:
почему у меня не получ. ноль если в определение дзета-ф-ции я подставляю s=-2, -4, -6 ? Это же получается расходящийся ряд
$\zeta(-2) = 1 + 2^2 + 3^2 + ...$

Потому что Вы в какой-то другой ряд подставляете.

[Alextp]

нет, скорее потому что ряд сходится только для $\operatorname{Re}(s) >1$ ,а слева ф-я просто аналитически продолжена.

[apriv]

Я и говорю, ряд не тот, который сходится в этой точке к дзета-функции, а какой-то другой.

[Alextp]

А есть в инете вывод значения $\zeta(2)$ (частный случай, без общего $s=2n$)?

[ИСН]

А я Вам про что рассказываю? Про рыбок и цветочки, может быть?

[Alextp]

"через ряды Фурье"- отсылка к рядам Фурье, общо. а сам вывод, попробнее, есть, или самому расписывать? Мне снова читать про Фурье придется тогда :)

[ИСН]

Если Вы про них ничего не помните - то таки да, придётся в любом случае. Если помните - ну дак примените. К какой функции, я там выше сказал.
Другой вариант - через эйлеровское бесконечное произведение для синуса, но его само по себе надо доказывать, а потом ещё возиться с обоснованиями, почему с ним можно делать то, что мы с ним захотим сделать.

[Narn]

Если хочется просто прочитать готовое доказательство - есть в "Доказательствах из книги" Айгнера, Циглера и еще в книжке Коблица про p-адический анализ.

[Whitaker]

Можно доказать, что $\zeta(2n)=(-1)^{n+1}\dfrac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$, где $B_{2n}$ - числа Бернулли, а $\zeta(-n)=-\dfrac{B_{n+1}}{n+1}$
В частности, $\zeta(3)$ - иррациональное число, называемое константой Апери (можете прочитать тут).

[Sonic86]

Alextp в сообщении #685891 писал(а):

Где про этот вывод почитать в инете?

Вывод есть в книге Айрленд Роузен Классическое введение в современную ТЧ. Наверняка есть в Фихтенгольце.

Whitaker в сообщении #685962 писал(а):

а $\zeta(-n)=-\dfrac{B_{n+1}}{n+1}$

А где такое есть? Интересно, а если с функциональным уравнением для $\zeta(s)$ связать...

[ex-math]

Где-то опечатка. $\zeta(-2n)=0$, поэтому для $\zeta(2n+1)$ функциональное уравнение ничего простого не дает. А $\zeta(-2n-1)$ выражается через числа Бернулли как раз благодаря функциональному уравнению.

[Whitaker]

ex-math
Какая еще опечатка?
$\zeta(-n)=-\dfrac{B_{n+1}}{n+1}$, а отсюда сразу следует, что $\zeta(-2n)=0$ так как $B_{2n+1}=0$ (числа Бернулли с нечетными индексами обнуляются)