Корень из двойки-не рациональное число. Док-во

[webmos]

Добрый день,

столкнулся с доказательством того, что корень из двойки не является рациональным числом. Доказательство приводится от обратного и предполагается, что есть такая рациональна дробь, что ее квадрат равен 2: $(p/q)^2=2$ Не понятен момент, где автор приводит такие слова:Так как $p^2=2q^2$, то $p$ есть число четное: $ p = 2r$, ($r$- целое) и, следовательно, $q$  нечетное. Подставляя вместо $p$ ero выражение, найдем $q^2 =2r^2 $,
откуда (следует, что $q$  четное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Почему из того факта, что квадрат $p$ равен двойке, умноженной на квадрат $q$, следует четность $p$? Откуда следует четность $p$?

p.s.: есть правило, что четно число равно двойке, умноженной на целое число, но в нашем случае речь идет о квадратах чисел:(.

[nnosipov]

webmos в сообщении #682494 писал(а):

Откуда следует четность p?

Если бы $p$ было нечётным, то и $p^2$ было бы нечётным, а у нас $p^2=2q^2$. Поэтому $p$ может быть только чётным.

[Xaositect]

Если $p$ нечетно, то его квадрат тоже нечетен. Значит, если $p^2$ четно, то и $p$ четно.

Чуть более общее утверждение (лемма Евклида): Если произведение $nm$ делится на простое число $p$, то какой-то из сомножителей делится на $p$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

[webmos]

Спасибо за подсказку. Было такое предположение, но я что-то не нашел этот закон.
Что это за закон (лемма)? Евклидова лемма, как я понял, более общая. А есть точно про возведение в квадрат (нечетного или четного числа), как называется?

[Xaositect]

webmos в сообщении #682506 писал(а):

А есть точно про возведение в квадрат (нечетного или четного числа), как называется?

Никак не называется. Доказывается в одну строчку.

[webmos]

Правильно ли следующее рассуждение: Поскольку изначально предполагается, что корень из двойки - это рациональная дробь $p/q$, то оба эти числа должны быть натуральными (знаменатель может быть и целым). Отсюда следует, что $q^2$ также целое число. По определению четного числа $m=2k$, где k-целое число. Раз $q^2$ является целым, то $p^2$ является четным. $P$ умножается само на себя, и, если оно не четное, то перемноженное само на себя даст также нечетное. Следовательно, p - четное число.

[bot]

Ваше рассуждение вообще не содержит предполагаемое равенство $\sqrt2=\dfrac pq$, зато присутствуют невесть откуда взявшиеся $m$ и $k$.

[webmos]

Содержит - вы же поняли о чем идет речь.

[Sinoid]

Да просто в таких доказательствах дробь $\dfrac{p}{q}$ считается несократимой.

[zer0]

Точно. И потом доказывают, что числитель и знаменатель можно сократить на 2 => противоречие.

[webmos]

Да, господа Sinod и Zero, верно (по поводу несократимости и доказательства от противного. Получается, что и знаменатель - четен, а тогда дробь сократима, а мы приняли, что это не так). Но, как я уже писал, меня торкнуло на утверждении, что p-четное число, вот я и принялся разбирать (доказывать) эту очевидность. Не понятность была в том, что я не знал - на чем можно базироваться (то есть что принимать за аксиому) при доказательстве сего факта.

[mix_mix]

webmos в сообщении #682494 писал(а):

Почему из того факта, что квадрат P равен двойке, умноженной на квадрат q, следует четность P? Откуда следует четность p?

Из чётности составного числа, в данном случае $p^2 = p \cdot p$, очевидно следует, что хотя бы один из множителей чётен, то есть в данном случае само число чётно.