fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 22:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Доказать, что $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}=0$$
У меня была одна идея, но по-моему она тут не сработает -- использовать $e^x\ge x^e$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Представьте числитель и знаменатель в виде $e^{f(x)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 22:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Xaositect в сообщении #685488 писал(а):
Представьте числитель и знаменатель в виде $e^{f(x)}$

Я думала заменить $x$ на $e^y$, тогда получится $$\frac{(e^y)^y}{y^{e^y}}=\frac{e^y^2}{y^{e^y}}$$ и что это даёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну можно и так.
Долно быть уже понятно, что знаменатель растет сильно быстрее числителя. Вы умеете доказывать то, что начиная с некоторого момента $e^y > y^k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 22:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Xaositect в сообщении #685491 писал(а):
Вы умеете доказывать то, что начиная с некоторого момента $e^y > y^k$?

Мне это всегда казалось очевидным. А как строго доказать, пока не соображу.

-- 18.02.2013, 22:47 --

Словами только могу. Левая часть возрастает экспоненциально, а правая -- полиномиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ktina в сообщении #685497 писал(а):
А как строго доказать, пока не соображу.

$\dfrac{e^{y+1}}{e^y}=e>2\;\dfrac{(y+1)^k}{y^k}\to2$.

Или, аналогично, $\dfrac{2^{y+1}}{2^y}=2>\dfrac32\cdot\dfrac{(y+1)^k}{y^k}\to\dfrac32$.

А вообще вопрос вполне бессмыслен. К моменту поступления такого типа задачки значение предела типа $\dfrac{a^y}{y}$ должно давно уж было войти в плоть и в кровь; и даже если потом нечаянно оттуда вышло -- то надо просто пролопиталить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:15 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ewert в сообщении #685511 писал(а):
А вообще вопрос вполне бессмыслен.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ewert в сообщении #685525 писал(а):

(Оффтоп)


(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение18.02.2013, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение19.02.2013, 00:15 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Xaositect в сообщении #685530 писал(а):

(Оффтоп)


(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение19.02.2013, 17:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Рассмотрите предел логарифма выражения под пределом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение20.02.2013, 02:04 


08/02/13
28
Ktina
очевидного тут нет. Нужно бы вбить графики в WolframAlpha, а именно вбиваем
plot x^log(x), plot log(x)^x, x=1..10

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что предел равен нулю
Сообщение20.02.2013, 06:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Alextp в сообщении #685969 писал(а):
Ktina
очевидного тут нет.
Здесь все совершенно очевидно за 3 секунды через рассмотрение логарифма выражения. И вольфрам тут не нужен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group