Доказать, что предел равен нулю

[Ktina]

Доказать, что

$$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}=0$$

У меня была одна идея, но по-моему она тут не сработает -- использовать $e^x\ge x^e$

[Xaositect]

Представьте числитель и знаменатель в виде $e^{f(x)}$

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685488 писал(а):

Представьте числитель и знаменатель в виде $e^{f(x)}$

Я думала заменить $x$ на $e^y$, тогда получится

$$\frac{(e^y)^y}{y^{e^y}}=\frac{e^y^2}{y^{e^y}}$$

и что это даёт?

[Xaositect]

Ну можно и так.
Долно быть уже понятно, что знаменатель растет сильно быстрее числителя. Вы умеете доказывать то, что начиная с некоторого момента $e^y > y^k$?

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685491 писал(а):

Вы умеете доказывать то, что начиная с некоторого момента $e^y > y^k$?

Мне это всегда казалось очевидным. А как строго доказать, пока не соображу.

-- 18.02.2013, 22:47 --

Словами только могу. Левая часть возрастает экспоненциально, а правая -- полиномиально.

[ewert]

Ktina в сообщении #685497 писал(а):

А как строго доказать, пока не соображу.

$\dfrac{e^{y+1}}{e^y}=e>2\;\dfrac{(y+1)^k}{y^k}\to2$.

Или, аналогично, $\dfrac{2^{y+1}}{2^y}=2>\dfrac32\cdot\dfrac{(y+1)^k}{y^k}\to\dfrac32$.

А вообще вопрос вполне бессмыслен. К моменту поступления такого типа задачки значение предела типа $\dfrac{a^y}{y}$ должно давно уж было войти в плоть и в кровь; и даже если потом нечаянно оттуда вышло -- то надо просто пролопиталить.

[Ktina]

ewert в сообщении #685511 писал(а):

А вообще вопрос вполне бессмыслен.

(Оффтоп)

По-моему и сама задача какая-то странная. Если бы она была частью какой-нибудь другой, более длинной задачи, я бы просто написала "очевидно $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}=0$", так как мне это было очевидно с самого начала.
Да и не просили в задаче доказать, просили вычислить предел. Просто мне настолько очевидно было, что он равен нулю, что не поняла, зачем это вообще доказывать.
Меня напугал источник задачи: http://www.baumo.narod.ru/Irk08bez.pdf (стр. 1, зад. 4).
Сколько вообще туров у Всероссийской Студенческой Олимпиады? Неужели третий и есть последний?
Я уже привыкла, что на внутривузовких олимпиадах до смешного простые задачки попадаются, но чтоб на Всесоюзке...

[Xaositect]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #685518 писал(а):

По-моему и сама задача какая-то странная. Если бы она была частью какой-нибудь другой, более длинной задачи, я бы просто написала "очевидно $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}=0$", так как мне это было очевидно с самого начала.

Это неправильный подход. Правильный подход: Очевидно, $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}=0$, так как я могу это доказать, но это скучно и не нужно ни мне, ни тому, кто это будет читать. Если Вы не знаете доказательства $x^k = o(e^x)$, Вам тут "очевидно" писать нельзя. И вообще за такие задачки пока еще рано, надо с основами разобраться.

[ewert]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #685518 писал(а):

Я уже привыкла, что на внутривузовких олимпиадах до смешного простые задачки попадаются, но чтоб на Всесоюзке...

Тут два момента.

С одной стороны, никакому Иркутску не возбраняется по нонешним временам назвать себя Всероссийском или даже Международском.

С другой, в олимпиадах всегда должны быть предусмотрены и задачки довольно элементарного уровня. Просто для того, чтобы набрать достаточно детальную статистику. Хотя настолько элементарного -- это уже перебор, тут Вы правы.

[Ktina]

ewert в сообщении #685525 писал(а):

(Оффтоп)

С другой, в олимпиадах всегда должны быть предусмотрены и задачки довольно элементарного уровня.

(Оффтоп)

За которые, почему-то, дают 5 баллов, тогда как за более сложные -- меньше.

[Xaositect]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #685527 писал(а):

ewert в сообщении #685525 писал(а):

С другой, в олимпиадах всегда должны быть предусмотрены и задачки довольно элементарного уровня.

За которые, почему-то, дают 5 баллов, тогда как за более сложные -- меньше.

По-моему, первые две задачки тривиальнее этой, а третья примерно того же уровня. А последняя вообще баян из книжки "Задачи на смекалку"

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685530 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #685527 писал(а):

ewert в сообщении #685525 писал(а):

С другой, в олимпиадах всегда должны быть предусмотрены и задачки довольно элементарного уровня.

За которые, почему-то, дают 5 баллов, тогда как за более сложные -- меньше.

По-моему, первые две задачки тривиальнее этой, а третья примерно того же уровня. А последняя вообще баян из книжки "Задачи на смекалку"

(Оффтоп)

Там же не только за 2008г. задачи...

[Sonic86]

Рассмотрите предел логарифма выражения под пределом.

[Alextp]

Ktina
очевидного тут нет. Нужно бы вбить графики в WolframAlpha, а именно вбиваем
plot x^log(x), plot log(x)^x, x=1..10

[Sonic86]

Alextp в сообщении #685969 писал(а):

Ktina
очевидного тут нет.

Здесь все совершенно очевидно за 3 секунды через рассмотрение логарифма выражения. И вольфрам тут не нужен.