2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Все подгруппы группы перестановок S_4
Сообщение17.02.2013, 22:12 
Аватара пользователя


03/11/12
65
Стоит задача описать всевозможные подгруппы группы $S_4$

Как вообще надо действовать в таких задачах?

Я из своего надумал только:
по теореме Лагранжа у этой группы могут быть только (нетривиальные) подгруппы 12-го, 8-го, 6-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков.
Я мыслил по пути, что в голову придет.
а) сопоставил группу $S_4$ с группой вращений куба. У куба могут быть три типа осей. И каждому типу оси сопоставил соответственно подгруппы 4, 3, 2 порядков. В подгруппах 4-го порядка можно дополнительно выделить подгруппы 2-го порядка.
б) вспомнил о наличии подгруппы четных перестановок. Она - 12-го порядка.
в) если в перестановке зафиксировать одно из чисел, то получится подгруппа, изоморфная $S_3$, т.е. подгруппа 6-го порядка.

У меня вопросы:
1) как надо мыслить в этой задаче, чтобы найти абсолютно все подгруппы
2) существует ли подгруппа 8-го порядка? Если нет, то как это можно показать. Обязательно ли должна существовать подгруппа порядка делителя группы?
3) все ли подгруппы я описал? Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение17.02.2013, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
dmitriy11 в сообщении #685109 писал(а):
существует ли подгруппа 8-го порядка?

Существует, это теорема Силова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение17.02.2013, 22:44 
Аватара пользователя


03/11/12
65
да, только что нашел подгруппу 8-го порядка.

-- 17.02.2013, 23:59 --

Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение18.02.2013, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Подгруппа порядка делителя существует не всегда. Так, $A_4$ не имеет подгруппы порядка 6.

В Вашем случае можно еще пользоваться тем, что порядок элемента подгруппы должен делить порядок подгруппы, и тем, что вместе с каждым элементом в подгруппу входит и порожденная им циклическая группа.

Вообще говоря, существует несколько подгрупп одного порядка, и они не всегда изоморфны. В $S_4$ есть циклические подгруппы порядка 4 и неизоморфная им клейновская (нормальная).

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение18.02.2013, 17:19 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
dmitriy11 в сообщении #685117 писал(а):
да, только что нашел подгруппу 8-го порядка.
Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение19.02.2013, 11:31 
Аватара пользователя


03/11/12
65
ex-math в сообщении #685302 писал(а):
Вообще говоря, существует несколько подгрупп одного порядка, и они не всегда изоморфны. В $S_4$ есть циклические подгруппы порядка 4 и неизоморфная им клейновская (нормальная).

ага, про клейновскую группу я сам не догадался. Спасибо.

ex-math в сообщении #685302 писал(а):
В Вашем случае можно еще пользоваться тем, что порядок элемента подгруппы должен делить порядок подгруппы, и тем, что вместе с каждым элементом в подгруппу входит и порожденная им циклическая группа.

не совсем понимаю, как воспользоваться этим советом. Мне нужно перебрать все 24 элемента группы, и каждый возводить в степень, пока не получится единичная перестановка?

-- 19.02.2013, 12:38 --

VAL в сообщении #685359 писал(а):
А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?


1) 24-го порядка. Одна штука (сама группа)
2) 12-го порядка. Одна штука ($A_4$)
3) 8-го порядка. Одна штука (эквивалент многочлену $x_1x_2+x_3x_4$)
4) 6-го порядка. Одна штука (изоморфная $S_6$, если зафиксировать одно из чисел перестановки)
5) 4-го порядка. Две штуки (циклическая, как вращение куба, и нормальная клейновская)
6) 3-го порядка. Одна штука (циклическая, вращение вокруг оси через диагональ)
7) 2-го порядка. Две штуки (тоже связана с вращениями вокруг осей куба)
8) 1-го порядка. Одна штука (тождественная перестановка)

в итоге получается у меня: 10 штук подгрупп.
Естественно, я считал их по типу подгруппы. Циклических подгрупп 3-го порядка можно выделить четыре штуки (по количеству диагоналей), я считаю их за одну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение19.02.2013, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Если Вы все подгруппы 3-го порядка считаете за одну, то почему подгрупп 2-го порядка - две?

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение19.02.2013, 12:43 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
dmitriy11 в сообщении #685650 писал(а):
VAL в сообщении #685359 писал(а):
А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?

1) 24-го порядка. Одна штука (сама группа)
2) 12-го порядка. Одна штука ($A_4$)
3) 8-го порядка. Одна штука (эквивалент многочлену $x_1x_2+x_3x_4$)
4) 6-го порядка. Одна штука (изоморфная $S_6$, если зафиксировать одно из чисел перестановки)
5) 4-го порядка. Две штуки (циклическая, как вращение куба, и нормальная клейновская)
6) 3-го порядка. Одна штука (циклическая, вращение вокруг оси через диагональ)
7) 2-го порядка. Две штуки (тоже связана с вращениями вокруг осей куба)
8) 1-го порядка. Одна штука (тождественная перестановка)

в итоге получается у меня: 10 штук подгрупп.
Естественно, я считал их по типу подгруппы. Циклических подгрупп 3-го порядка можно выделить четыре штуки (по количеству диагоналей), я считаю их за одну.

Полагаю зря считаете изоморфные за одну (тем более, что не всегда).
В подтверждение приведу цитату из своего же ответа на тот же вопрос:
Цитата:
30 подгрупп группы $S_4$ делятся на классы изоморфных между собой подгрупп так:
1 подгруппа порядка 1;
9 подгрупп порядка 2 (все они изоморфны между собой, как и любые две циклические группы одного и того же порядка);
4 подгруппы порядка 3;
3 циклических подгруппы порядка 4;
4 подгруппы порядка 4 типа $C_2\times C_2$;
4 подгруппы порядка 6 (все изоморфны $S_3)$;
3 подгруппы порядка 8 (все изоморфны между собой);
1 подгруппа порядка 12 (знакопеременная группа);
1 подгруппа порядка 24 (сама группа).
Итого 9 классов (но 30 подгрупп).

Приведу еще один пример, показывающий, что изоморфные но разные подгруппы не следует отождествлять.
Подгруппы $\{e,(1 2), (3 4), (1 2)(3 4)\}$ и $\{e,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)\}$ изоморфны как группы. Но это существенно разные подгруппы. Первая не является нормальной, а вторая нормальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все подгруппы группы перестановок
Сообщение19.02.2013, 12:46 
Аватара пользователя


03/11/12
65
ИСН в сообщении #685665 писал(а):
Если Вы все подгруппы 3-го порядка считаете за одну, то почему подгрупп 2-го порядка - две?

одна подгруппа состоит из единичной перестановки и перестановки, у которой два элемента остаются на своих местах, а два меняются.
вторая подгруппа - у которой есть перестановка, которая меняет два элемента друг с другом, и другие два элемента меняет друг с другом

-- 19.02.2013, 13:49 --

VAL в сообщении #685671 писал(а):
Полагаю зря считаете изоморфные за одну (тем более, что не всегда).
В подтверждение приведу цитату из своего же ответа на тот же вопрос:

спасибо, вроде у меня то же самое получилось

-- 19.02.2013, 13:52 --

Я на 100% уверен, что мне зададут вопрос: почему нет других подгрупп кроме вышеперечисленных?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group