Все подгруппы группы перестановок S_4

[dmitriy11]

Стоит задача описать всевозможные подгруппы группы $S_4$

Как вообще надо действовать в таких задачах?

Я из своего надумал только:
по теореме Лагранжа у этой группы могут быть только (нетривиальные) подгруппы 12-го, 8-го, 6-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков.
Я мыслил по пути, что в голову придет.
а) сопоставил группу $S_4$ с группой вращений куба. У куба могут быть три типа осей. И каждому типу оси сопоставил соответственно подгруппы 4, 3, 2 порядков. В подгруппах 4-го порядка можно дополнительно выделить подгруппы 2-го порядка.
б) вспомнил о наличии подгруппы четных перестановок. Она - 12-го порядка.
в) если в перестановке зафиксировать одно из чисел, то получится подгруппа, изоморфная $S_3$, т.е. подгруппа 6-го порядка.

У меня вопросы:
1) как надо мыслить в этой задаче, чтобы найти абсолютно все подгруппы
2) существует ли подгруппа 8-го порядка? Если нет, то как это можно показать. Обязательно ли должна существовать подгруппа порядка делителя группы?
3) все ли подгруппы я описал? Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

[xmaister]

dmitriy11 в сообщении #685109 писал(а):

существует ли подгруппа 8-го порядка?

Существует, это теорема Силова.

[dmitriy11]

да, только что нашел подгруппу 8-го порядка.

-- 17.02.2013, 23:59 --

Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

[ex-math]

Подгруппа порядка делителя существует не всегда. Так, $A_4$ не имеет подгруппы порядка 6.

В Вашем случае можно еще пользоваться тем, что порядок элемента подгруппы должен делить порядок подгруппы, и тем, что вместе с каждым элементом в подгруппу входит и порожденная им циклическая группа.

Вообще говоря, существует несколько подгрупп одного порядка, и они не всегда изоморфны. В $S_4$ есть циклические подгруппы порядка 4 и неизоморфная им клейновская (нормальная).

[VAL]

dmitriy11 в сообщении #685117 писал(а):

да, только что нашел подгруппу 8-го порядка.
Как доказать (или показать), что других подгрупп не существует?

А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?

[dmitriy11]

ex-math в сообщении #685302 писал(а):

Вообще говоря, существует несколько подгрупп одного порядка, и они не всегда изоморфны. В $S_4$ есть циклические подгруппы порядка 4 и неизоморфная им клейновская (нормальная).

ага, про клейновскую группу я сам не догадался. Спасибо.

ex-math в сообщении #685302 писал(а):

В Вашем случае можно еще пользоваться тем, что порядок элемента подгруппы должен делить порядок подгруппы, и тем, что вместе с каждым элементом в подгруппу входит и порожденная им циклическая группа.

не совсем понимаю, как воспользоваться этим советом. Мне нужно перебрать все 24 элемента группы, и каждый возводить в степень, пока не получится единичная перестановка?

-- 19.02.2013, 12:38 --

VAL в сообщении #685359 писал(а):

А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?

1) 24-го порядка. Одна штука (сама группа)
2) 12-го порядка. Одна штука ($A_4$)
3) 8-го порядка. Одна штука (эквивалент многочлену $x_1x_2+x_3x_4$)
4) 6-го порядка. Одна штука (изоморфная $S_6$, если зафиксировать одно из чисел перестановки)
5) 4-го порядка. Две штуки (циклическая, как вращение куба, и нормальная клейновская)
6) 3-го порядка. Одна штука (циклическая, вращение вокруг оси через диагональ)
7) 2-го порядка. Две штуки (тоже связана с вращениями вокруг осей куба)
8) 1-го порядка. Одна штука (тождественная перестановка)

в итоге получается у меня: 10 штук подгрупп.
Естественно, я считал их по типу подгруппы. Циклических подгрупп 3-го порядка можно выделить четыре штуки (по количеству диагоналей), я считаю их за одну.

[ИСН]

Если Вы все подгруппы 3-го порядка считаете за одну, то почему подгрупп 2-го порядка - две?

[VAL]

dmitriy11 в сообщении #685650 писал(а):

VAL в сообщении #685359 писал(а):

А сколько всего подгрупп у Вас получилось (считая единичную и саму группу)?

1) 24-го порядка. Одна штука (сама группа)
2) 12-го порядка. Одна штука ($A_4$)
3) 8-го порядка. Одна штука (эквивалент многочлену $x_1x_2+x_3x_4$)
4) 6-го порядка. Одна штука (изоморфная $S_6$, если зафиксировать одно из чисел перестановки)
5) 4-го порядка. Две штуки (циклическая, как вращение куба, и нормальная клейновская)
6) 3-го порядка. Одна штука (циклическая, вращение вокруг оси через диагональ)
7) 2-го порядка. Две штуки (тоже связана с вращениями вокруг осей куба)
8) 1-го порядка. Одна штука (тождественная перестановка)

в итоге получается у меня: 10 штук подгрупп.
Естественно, я считал их по типу подгруппы. Циклических подгрупп 3-го порядка можно выделить четыре штуки (по количеству диагоналей), я считаю их за одну.

Полагаю зря считаете изоморфные за одну (тем более, что не всегда).
В подтверждение приведу цитату из своего же ответа на тот же вопрос:

Цитата:

30 подгрупп группы $S_4$ делятся на классы изоморфных между собой подгрупп так:
1 подгруппа порядка 1;
9 подгрупп порядка 2 (все они изоморфны между собой, как и любые две циклические группы одного и того же порядка);
4 подгруппы порядка 3;
3 циклических подгруппы порядка 4;
4 подгруппы порядка 4 типа $C_2\times C_2$;
4 подгруппы порядка 6 (все изоморфны $S_3)$;
3 подгруппы порядка 8 (все изоморфны между собой);
1 подгруппа порядка 12 (знакопеременная группа);
1 подгруппа порядка 24 (сама группа).
Итого 9 классов (но 30 подгрупп).

Приведу еще один пример, показывающий, что изоморфные но разные подгруппы не следует отождествлять.
Подгруппы $\{e,(1 2), (3 4), (1 2)(3 4)\}$ и $\{e,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)\}$ изоморфны как группы. Но это существенно разные подгруппы. Первая не является нормальной, а вторая нормальна.

[dmitriy11]

ИСН в сообщении #685665 писал(а):

Если Вы все подгруппы 3-го порядка считаете за одну, то почему подгрупп 2-го порядка - две?

одна подгруппа состоит из единичной перестановки и перестановки, у которой два элемента остаются на своих местах, а два меняются.
вторая подгруппа - у которой есть перестановка, которая меняет два элемента друг с другом, и другие два элемента меняет друг с другом

-- 19.02.2013, 13:49 --

VAL в сообщении #685671 писал(а):

Полагаю зря считаете изоморфные за одну (тем более, что не всегда).
В подтверждение приведу цитату из своего же ответа на тот же вопрос:

спасибо, вроде у меня то же самое получилось

-- 19.02.2013, 13:52 --

Я на 100% уверен, что мне зададут вопрос: почему нет других подгрупп кроме вышеперечисленных?