Неравенство от одной переменной

[arqady]

Для неотрицательного $x$ и натурального $n$ докажите, что

$$x^{2n}-x^n+1\geq(x^2-x+1)^n$$

(можно)

взять и действительное $n\geq1$

[vmg]

Проходит индукция
$x^{2n+2}-x^{n+1}+1\geq(x^{2n}-x^n+1)(x^2-x+1)\Leftrightarrow$
$x^{2n-1}(x-1)+x^{n-1}(x-1)^2\geq{x-1}$.
Далее 2 случая $x>1$,$x<1$.

[TR63]

1). $[x^{2n}-(x^n-1)]^{\frac 1 n}\ge [x^2-(x-1)]$

2). $[(x^2)^n-y^n]^{\frac 1 n}\ge [x^2-(x-1)]$

$x\ge 1$. При $n=1$ неравенство верно. Далее, т.к. левая часть является возрастающей по (n) функцией (факт известный, учитывая, что $x^2>(x^n-1)^{\frac 1 n}$), то знак неравенства сохраняется.
$x<1$. Если сделать замену $x=\frac 1 z$, $z>1$, то рассуждения аналогичны.
Неравенство сохраняется при рациональных (n) (неотрицательных).