Наименьшее значение интеграла

[Ktina]

При каком вещественном $a$ интеграл

$$\int\limits_0^{3}{|x-a|dx}$$

принимает наименьшее значение?

Я думаю, что при $a=1,5$. Просто вообразила график подынтегральной функции при различных значениях $a$.
Если $a\le 0\lor a\ge3$, то наш интеграл будет не меньше 4,5. При остальных значениях $a$ имеем два числа с суммой 3, сумму квадратов которых нужно минимизировать, а это уже дело техники.

А как на самом деле нужно было решать?

[ИСН]

Так и нужно, тут никакой хитрости.

[Ktina]

ИСН в сообщении #683829 писал(а):

Так и нужно, тут никакой хитрости.

Там, откуда я взяла эту задачу, есть похожие задачи, но похитрее. Существует ли какой-нибудь универсальный способ их решения, или же каждый раз нужно визуализировать график подынтегральной функции в мозгу?

[ИСН]

Ну Вы ведь можете свести интеграл к одному (возможно, составному) выражению, то есть к функции от параметра? Потом туда-сюда, зубы в руки, методы нахождения минимумов...
Визуализировать полезно всегда. А так-то кругом полно людей, которые этого не делают вообще, даже когда надо. "Мадам паркуется по слуху."

[мат-ламер]

Ktina в сообщении #683834 писал(а):

Существует ли какой-нибудь универсальный способ их решения

Имеем негладкую задачу оптимизации. Условие минимума - ноль принадлежит субградиенту. Теорию можно посмотреть в книгах по по оптимизации. У Тихомирова В.М. с соавторами несколько книг на эту тему.

Ktina в сообщении #683834 писал(а):

Там, откуда я взяла эту задачу, есть похожие задачи, но похитрее

Может ещё что-то выложите?

[Ktina]

мат-ламер в сообщении #683949 писал(а):

Может ещё что-то выложите?

Найти многочлен $P(x)$ наименьшей степени, такой что

$$\int\limits_{-1}^{1}{P(x)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{x^{10}P(x)dx}=4$$

[ИСН]

Ну это банально. Нулевой степени мало, потому что проверяем и опа. Первой тоже мало, потому что она к нулевой ничего не добавляет. Второй должно хватить.

[Ktina]

ИСН в сообщении #684002 писал(а):

Второй должно хватить.

Видимо, торможу. Мне казалось, что ответ больше 2.

[ИСН]

Откуда? Вторая степень - это два параметра (игнорируя нечётный член, который всё равно бесполезен). Оба интеграла зависят от них линейно. Друг другу они не пропорциональны. Два уравнения, две неизвестных.
Такой был мой ход мысли до Вашего последнего сообщения.
А после него я что-то испугался, пошёл и проверил.
Прав был, конечно.

[ewert]

Ktina в сообщении #683812 писал(а):

имеем два числа с суммой 3, сумму квадратов которых нужно минимизировать,

Да не надо квадратов, просто продифференцируйте подынтегральную функцию по параметру -- сразу станет очевидным, где там производная интеграла обращается в ноль, никакого и счёта не нужно.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы просто увидел бы два прямоугольных треугольника. У которых равны суммы оснований и суммы высот. И сразу заметно, что минимум, когда высоты равны.

[Ktina]

Евгений Машеров в сообщении #684120 писал(а):

Ну, я бы просто увидел бы два прямоугольных треугольника. У которых равны суммы оснований и суммы высот. И сразу заметно, что минимум, когда высоты равны.

Так это и есть минимизация суммы квадратов, я именно эти два треугольника и увидела.

[ewert]

(Оффтоп)

Ну, там треугольнички ещё и прикидывать нужно. А вот полоски -- не нужно абсолютно. Сразу, с первого заходу очевидно -- какая полоска какую запросто перевесит.

[Ktina]

ИСН в сообщении #683838 писал(а):

Визуализировать полезно всегда. А так-то кругом полно людей, которые этого не делают вообще, даже когда надо. "Мадам паркуется по слуху."

(Оффтоп)

Особенно при прохождении тестов, где решение писать не надо, а только ответ. Только что сама в этом убедилась. Проходила онлайн-тест, там был такой вопрос:
Найти производную функции $(2x-1)^4$ в нуле. Просто представила себе график. Это тот же график, что и $(2x)^4$, только сдвинутый на половинку вправо. Поэтому вместо раскрытия скобок или вычисления производной сложной функции, просто взяла производную от $16x^4$ в точке $-\frac{1}{2}$. Получилось $64x^3=64\cdot(-\frac{1}{2})^3=-8$ и оказалось правильно. А на ответ минута даётся. Если бы я стала раскрывать скобки или брать производную от сложной функции, не успела бы.

[LeontiiPavlovich]

(Оффтоп)

это каким [censored] надо быть, чтобы раскрывать скобки