2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 13:50 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
При каком вещественном $a$ интеграл $$\int\limits_0^{3}{|x-a|dx}$$
принимает наименьшее значение?

Я думаю, что при $a=1,5$. Просто вообразила график подынтегральной функции при различных значениях $a$.
Если $a\le 0\lor a\ge3$, то наш интеграл будет не меньше 4,5. При остальных значениях $a$ имеем два числа с суммой 3, сумму квадратов которых нужно минимизировать, а это уже дело техники.

А как на самом деле нужно было решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Так и нужно, тут никакой хитрости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 14:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #683829 писал(а):
Так и нужно, тут никакой хитрости.

Там, откуда я взяла эту задачу, есть похожие задачи, но похитрее. Существует ли какой-нибудь универсальный способ их решения, или же каждый раз нужно визуализировать график подынтегральной функции в мозгу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну Вы ведь можете свести интеграл к одному (возможно, составному) выражению, то есть к функции от параметра? Потом туда-сюда, зубы в руки, методы нахождения минимумов...
Визуализировать полезно всегда. А так-то кругом полно людей, которые этого не делают вообще, даже когда надо. "Мадам паркуется по слуху."

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Ktina в сообщении #683834 писал(а):
Существует ли какой-нибудь универсальный способ их решения

Имеем негладкую задачу оптимизации. Условие минимума - ноль принадлежит субградиенту. Теорию можно посмотреть в книгах по по оптимизации. У Тихомирова В.М. с соавторами несколько книг на эту тему.
Ktina в сообщении #683834 писал(а):
Там, откуда я взяла эту задачу, есть похожие задачи, но похитрее

Может ещё что-то выложите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 20:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
мат-ламер в сообщении #683949 писал(а):
Может ещё что-то выложите?

Найти многочлен $P(x)$ наименьшей степени, такой что $$\int\limits_{-1}^{1}{P(x)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{x^{10}P(x)dx}=4$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну это банально. Нулевой степени мало, потому что проверяем и опа. Первой тоже мало, потому что она к нулевой ничего не добавляет. Второй должно хватить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 21:41 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #684002 писал(а):
Второй должно хватить.

Видимо, торможу. Мне казалось, что ответ больше 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение14.02.2013, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Откуда? Вторая степень - это два параметра (игнорируя нечётный член, который всё равно бесполезен). Оба интеграла зависят от них линейно. Друг другу они не пропорциональны. Два уравнения, две неизвестных.
Такой был мой ход мысли до Вашего последнего сообщения.
А после него я что-то испугался, пошёл и проверил.
Прав был, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение15.02.2013, 08:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ktina в сообщении #683812 писал(а):
имеем два числа с суммой 3, сумму квадратов которых нужно минимизировать,

Да не надо квадратов, просто продифференцируйте подынтегральную функцию по параметру -- сразу станет очевидным, где там производная интеграла обращается в ноль, никакого и счёта не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение15.02.2013, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, я бы просто увидел бы два прямоугольных треугольника. У которых равны суммы оснований и суммы высот. И сразу заметно, что минимум, когда высоты равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение15.02.2013, 11:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Евгений Машеров в сообщении #684120 писал(а):
Ну, я бы просто увидел бы два прямоугольных треугольника. У которых равны суммы оснований и суммы высот. И сразу заметно, что минимум, когда высоты равны.

Так это и есть минимизация суммы квадратов, я именно эти два треугольника и увидела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение15.02.2013, 20:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Ну, там треугольнички ещё и прикидывать нужно. А вот полоски -- не нужно абсолютно. Сразу, с первого заходу очевидно -- какая полоска какую запросто перевесит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение17.02.2013, 10:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #683838 писал(а):
Визуализировать полезно всегда. А так-то кругом полно людей, которые этого не делают вообще, даже когда надо. "Мадам паркуется по слуху."

(Оффтоп)

Особенно при прохождении тестов, где решение писать не надо, а только ответ. Только что сама в этом убедилась. Проходила онлайн-тест, там был такой вопрос:
Найти производную функции $(2x-1)^4$ в нуле. Просто представила себе график. Это тот же график, что и $(2x)^4$, только сдвинутый на половинку вправо. Поэтому вместо раскрытия скобок или вычисления производной сложной функции, просто взяла производную от $16x^4$ в точке $-\frac{1}{2}$. Получилось $64x^3=64\cdot(-\frac{1}{2})^3=-8$ и оказалось правильно. А на ответ минута даётся. Если бы я стала раскрывать скобки или брать производную от сложной функции, не успела бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее значение интеграла
Сообщение17.02.2013, 13:02 


30/12/12
146

(Оффтоп)

это каким [censored] надо быть, чтобы раскрывать скобки :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group