2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объем фигуры при пересечении (сфера и цилиндр)
Сообщение30.05.2007, 17:21 


26/05/07
8
Здравствуйте!

Задача такая, надо вывести формулу подсчета объема фигуры пересечения цилиндра и сферы, которая зависит от радиуса цилиндра и сферы и расстояния от центра.

Я так поняла. что надо найти тройной интеграл. Только не знаю как подступиться...

С уважением, Галина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры при пересечении
Сообщение30.05.2007, 17:36 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
GalkaVV писал(а):
расстояния от центра.
Расстояние от чего и до какого центра?
Лучше написать конкретные цилиндр и сферу, будет попонятнее.

А вообще да, объем тела $V$ считается как тройной интеграл $\iiint\limits_V dx\,dy\,dz$. Обычно в нем переходят к повторным интегралам и последовательно их считают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры при пересечении
Сообщение30.05.2007, 17:42 


26/05/07
8
Gordmit писал(а):
Расстояние от чего и до какого центра?
Лучше написать конкретные цилиндр и сферу, будет попонятнее.

А вообще да, объем тела $V$ считается как тройной интеграл $\iiint\limits_V dx\,dy\,dz$. Обычно в нем переходят к повторным интегралам и последовательно их считают.


Расстояние от цента сферы и цилиндра до плоскости пересечения... В том то и проблема, что задача формулируется именно так. Не дано конкретных цилиндров и сфер. Предполагается, что эти 2 тела просто пересекают друг друга, и надо найти объем фигуры этого пересечения. Притом все это должно обязательно связано с расстоянием от центра до плоскости пересечения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 17:47 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Что Вы понимаете под центром цилиндра и плоскостью пересечения сферы и цилиндра? Вообще-то цилиндры редко пересекаются со сферами по плоскостям :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Вам нужно рассмотреть сечение плоскостью с нормалью образующей цилиндра и проходящей через центр сферы. В плоскости будет две окружности: первая цилиндра, вторая сферы. Пусть ось Х расположена от центра окружности цилиндра к центру сферы. Ось Y перпендикулярна X и лежит в плоскости.
1. Центр сферы лежит вне цилиндра. Найдите Ymax пересечения. Ваш объем будет равен

$2\int_0^{Y_{max}}S_{cross}dy
$S_{cross} представляет собой площадь фигуры ограниченой окружностью(сечением сферы) и линией(сечением цилиндра).
2.Центр сферы лежит внутри цилиндра.
$V_{sphere} - 2\int_0^{Y_{max}}S_{cross}dy

$S_{cross} представляет собой площадь фигуры ограниченой линией(сечением цилиндра) и окружностью(сечением сферы).
Вообще это не задача из университетского курса. Я описал случай когда радиус сферы существенно меньше радиуса цилиндра и сфера не находится внутри цилиндра. Когда радиус сферы соиэмерим или много больше радиуса цилиндра нужны другие формулы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 23:10 


26/05/07
8
А где бы почитать про все случаи?

Это задача из курса мат. анализа за 2 курс Мат-мех СПбГУ, в теме тройных интегралов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
А точную формулировку можно привести? Так, как она сформулирована в задачнике (или где Вы там ещё её взяли). Или это и есть точная формулировка?

GalkaVV писал(а):
вывести формулу подсчета объема фигуры пересечения цилиндра и сферы, которая зависит от радиуса цилиндра и сферы и расстояния от центра


А то случаев-то может оказаться много...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 15:20 


26/05/07
8
Это и есть точная формулировка. Более точной у меня нет.

Проблема в том, что выведенная формула должна охватывать все возможные варианты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну так перечислите варианты. Примерно так:
Вариант первый: цилиндр такой здоровый и так расположен, что сфера вся находится в нём. Объём равен ....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Объем пересечения двух сфер определяется на основе телесного угла
$\Omega=2\pi(1-cos\frac \alpha 2 )
При расстоянии между двумя сферами d
$cos\frac \alpha 2 =\frac {r_2^2-r_1^2+d^2} {2d*r_2}
Площадь поверхности вырезанной во второй сфере
$S=r_2^22\pi(1-cos\frac \alpha 2 )
Обем пересечения сфер
$V=2\pi \int_{d-r1}^{r_2} r^2(1-\frac {r^2-r_1^2+d^2} {2d*r})dr
При $r_1=r_2=d=1, V=\pi \frac 5 {12}
С пересечением сферы и цилдиндра все намного сложнее и найдти ответ даже для самого простого случая трудно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.06.2007, 13:33 


26/05/07
8
Огромное спасибо за помощь. Буду дальше мучать(решать) задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group