Объем фигуры при пересечении (сфера и цилиндр)

[GalkaVV]

Здравствуйте!

Задача такая, надо вывести формулу подсчета объема фигуры пересечения цилиндра и сферы, которая зависит от радиуса цилиндра и сферы и расстояния от центра.

Я так поняла. что надо найти тройной интеграл. Только не знаю как подступиться...

С уважением, Галина.

[Gordmit]

GalkaVV писал(а):

расстояния от центра.

Расстояние от чего и до какого центра?
Лучше написать конкретные цилиндр и сферу, будет попонятнее.

А вообще да, объем тела $V$ считается как тройной интеграл $\iiint\limits_V dx\,dy\,dz$. Обычно в нем переходят к повторным интегралам и последовательно их считают.

[GalkaVV]

Gordmit писал(а):

Расстояние от чего и до какого центра?
Лучше написать конкретные цилиндр и сферу, будет попонятнее.

А вообще да, объем тела $V$ считается как тройной интеграл $\iiint\limits_V dx\,dy\,dz$. Обычно в нем переходят к повторным интегралам и последовательно их считают.

Расстояние от цента сферы и цилиндра до плоскости пересечения... В том то и проблема, что задача формулируется именно так. Не дано конкретных цилиндров и сфер. Предполагается, что эти 2 тела просто пересекают друг друга, и надо найти объем фигуры этого пересечения. Притом все это должно обязательно связано с расстоянием от центра до плоскости пересечения.

[Gordmit]

Что Вы понимаете под центром цилиндра и плоскостью пересечения сферы и цилиндра? Вообще-то цилиндры редко пересекаются со сферами по плоскостям

[Zai]

Вам нужно рассмотреть сечение плоскостью с нормалью образующей цилиндра и проходящей через центр сферы. В плоскости будет две окружности: первая цилиндра, вторая сферы. Пусть ось Х расположена от центра окружности цилиндра к центру сферы. Ось Y перпендикулярна X и лежит в плоскости.
1. Центр сферы лежит вне цилиндра. Найдите Ymax пересечения. Ваш объем будет равен

$2\int_0^{Y_{max}}S_{cross}dy
$S_{cross} представляет собой площадь фигуры ограниченой окружностью(сечением сферы) и линией(сечением цилиндра).
2.Центр сферы лежит внутри цилиндра.
$V_{sphere} - 2\int_0^{Y_{max}}S_{cross}dy

$S_{cross} представляет собой площадь фигуры ограниченой линией(сечением цилиндра) и окружностью(сечением сферы).
Вообще это не задача из университетского курса. Я описал случай когда радиус сферы существенно меньше радиуса цилиндра и сфера не находится внутри цилиндра. Когда радиус сферы соиэмерим или много больше радиуса цилиндра нужны другие формулы.

[GalkaVV]

А где бы почитать про все случаи?

Это задача из курса мат. анализа за 2 курс Мат-мех СПбГУ, в теме тройных интегралов.

[Someone]

А точную формулировку можно привести? Так, как она сформулирована в задачнике (или где Вы там ещё её взяли). Или это и есть точная формулировка?

GalkaVV писал(а):

вывести формулу подсчета объема фигуры пересечения цилиндра и сферы, которая зависит от радиуса цилиндра и сферы и расстояния от центра

А то случаев-то может оказаться много...

[GalkaVV]

Это и есть точная формулировка. Более точной у меня нет.

Проблема в том, что выведенная формула должна охватывать все возможные варианты.

[ИСН]

Ну так перечислите варианты. Примерно так:
Вариант первый: цилиндр такой здоровый и так расположен, что сфера вся находится в нём. Объём равен ....

[Zai]

Объем пересечения двух сфер определяется на основе телесного угла
$\Omega=2\pi(1-cos\frac \alpha 2 )
При расстоянии между двумя сферами d
$cos\frac \alpha 2 =\frac {r_2^2-r_1^2+d^2} {2d*r_2}
Площадь поверхности вырезанной во второй сфере
$S=r_2^22\pi(1-cos\frac \alpha 2 )
Обем пересечения сфер
$V=2\pi \int_{d-r1}^{r_2} r^2(1-\frac {r^2-r_1^2+d^2} {2d*r})dr
При $r_1=r_2=d=1, V=\pi \frac 5 {12}
С пересечением сферы и цилдиндра все намного сложнее и найдти ответ даже для самого простого случая трудно.

[GalkaVV]

Огромное спасибо за помощь. Буду дальше мучать(решать) задачу.