Симпатичное тождество для ВТФ n=3

[Батороев]

Имеем уравнение:

$$x^3+y^3=b^3$$

Это уравнение можно записать:

$$x^3=z^3-y^3=(z-y)^3+3zy(z-y)$$

$$y^3=z^3-x^3=(z-x)^3+3zx(z-x)$$

$$z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$$

$$3zy(z-y)=x^3-(z-y)^3$$

$$3zx(z-x)=y^3-(z-x)^3$$

$$3xy(x+y)=(x+y)^3-z^3$$

$$3zy(z-y)=(x-z+y)\cdot[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]$$

$$3zx(z-x)=(y-z+x)\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]$$

$$3xy(x+y)=(x+y-z)\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

Перемножив все три уравнения, получаем:

$$27x^2y^2z^2(z-y)(z-x)(x+y)=(x+y-z)^3\cdot[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

На основании известного тождества для ВТФ $n=3$:

$$(x+y-z)^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$$

получаем:

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

$$\dfrac{[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]}{x^2y^2z^2}=9$$

$$\left[\left(\dfrac{z-y}{x}\right)^2+\dfrac{z-y}{x}+1\right]\cdot \left[\left(\dfrac{z-x}{y}\right)^2+\dfrac{z-x}{y}+1\right]\cdot\left[\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2+\dfrac{x+y}{z}+1\right]=9$$

или в рациональных числах:

$$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)=9$$

[vasili]

Уважаемый Батороев!
$X + Y -Z = k d_1 d_2d_3$, где $d_1,d_2,d_3$ такие множители чисел X,Y иZ соответственно, что для 1-го случая ВТФ имеем формулы Абеля
$X + Y = d_3^3$, $Z -X = d_2^3$, $Z-Y = d_1^3$, тогда
$2(X + Y -Z) = (X + Y)-(Z -X)-(Z -Y)= d_3^3-d_2^3- d_1^3 = 2kd_1 d_2d_3$, $d_3^3 -d_2^3 -d_1^3\equiv0\mod3^2$, $(k,3^2)=3^2$ -
- 1-ый случай ВТФ,
$(d,3^2)=3^2$ - 2-ой случай ВТФ (для одного множителя d) и $(k,3^2)=1$.
тогда $(X +Y- Z)^3\equiv0\mod3^6$.

[nnosipov]

Батороев в сообщении #680561 писал(а):

или в рациональных числах:

$$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)=9$$

Между прочим, существует бесконечно много троек рациональных чисел $(a,b,c)$, удовлетворяющих этому уравнению.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #680673 писал(а):

Между прочим, существует бесконечно много троек рациональных чисел $(a,b,c)$, удовлетворяющих этому уравнению.

Ваше "между прочим" меня уже давненько интересовало. Спасибо!

Еще было бы любопытно выяснить, можно ли, используя уравнение ВТФ и это тождество, получить оценку величины входящих в тождество рациональных чисел? Например, по моим прикидкам: $c\leq\sqrt[3]{4}$.

[Батороев]

vasili в сообщении #680646 писал(а):

- 1-ый случай ВТФ,
$(d,3^2)=3^2$ - 2-ой случай ВТФ (для одного множителя d) и $(k,3^2)=1$.
тогда $(X +Y- Z)^3\equiv0\mod3^6$.

Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.
Относительно 2-го случая: $(x+y-z)$ и одно из чисел $x,y,z$, кратное трем, имеют одинаковую степень вхождения числа $3$. Коль доказано, что степень вхождения тройки не может быть ниже второй степени, то и получаем представленное Вами сравнение.

[shwedka]

Батороев в сообщении #680909 писал(а):

Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.

Но ведь и про второй случай ВТФ3 элементарно доказана невозможность.
Так что, его тоже не следует рассматривать? Или?

[Батороев]

shwedka в сообщении #681128 писал(а):

Батороев в сообщении #680909 писал(а):

Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.

Но ведь и про второй случай ВТФ3 элементарно доказана невозможность.
Так что, его тоже не следует рассматривать? Или?

Я имел в виду наш форум.

[nnosipov]

Батороев в сообщении #680905 писал(а):

Ваше "между прочим" меня уже давненько интересовало.

Тогда приведу некоторые детали. Взяв $c=1$, получим уравнение $(a^2+a+1)(b^2+b+1)=3$, которое определяет эллиптическую кривую. Её Weierstrassform выглядит так: $x^3+69/16x-235/32+y^2=0$. Имеем точку $(a,b)=(-2,0)$, которой соответствует точка $(x,y)=(1/2,9/4)$. Размножаем последнюю (например, удвоением) и получаем бесконечную последовательность точек $(x_j,y_j)$. Этой последовательности соответствует последовательность точек $(a_j,b_j)$ исходной кривой. Формулы перехода предоставляет Maple одновременно с Weierstrassform.

[Батороев]

nnosipov
Спасибо за выкладки!

Третий день тупо пялюсь на промежуточное тождество:

Батороев в сообщении #680561 писал(а):

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

и не покидает чувство, что после сокращения выражения на двойки и тройки, квадрат в правой части не получится. Особенно, если доказать, что числа в скобках, оставшиеся после вышеуказанного сокращения, будут взаимнопростыми.

[ananova]

Цитата:

Третий день тупо пялюсь на промежуточное тождество:

Батороев в сообщении #680561 писал(а):

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

Что тупо глядеть?
Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например:

$$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

[ananova]

Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$

[venco]

ananova в сообщении #682898 писал(а):

Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$

Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

ananova в сообщении #682835 писал(а):

Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например:

$$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

На самом деле каждая из этих скобок кратна 3, а одна из них даже 27. Не забывайте, что одно из чисел $\{x, y, z\}$ делится на 9. А ещё на 3 делится $x+y-z$.

[ananova]

venco в сообщении #682988 писал(а):

ananova в сообщении #682898 писал(а):

Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$

Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

В этом случае результат произведения трех скобок даст ${3^2}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^2}$ для Случая 2

Цитата:

ananova в сообщении #682835 писал(а):

Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например:

$$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

На самом деле каждая из этих скобок кратна 3, а одна из них даже 27. Не забывайте, что одно из чисел $\{x, y, z\}$ делится на 9. А ещё на 3 делится $x+y-z$.

Тогда результат произведения трех скобок даст ${3^3}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^3}$ для Случая 2?

Однако, в левой части: ${3^2} \cdot {3^2}$ Возможно, что я что-то не учитываю.

[venco]

ananova в сообщении #683059 писал(а):

venco в сообщении #682988 писал(а):

ananova в сообщении #682898 писал(а):

Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$

Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

В этом случае результат произведения трех скобок даст ${3^2}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^2}$ для Случая 2.

Вы не ответили на вопрос:

venco в сообщении #682988 писал(а):

Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

ananova в сообщении #683059 писал(а):

Тогда результат произведения трех скобок даст ${3^3}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^3}$ для Случая 2?

Забудьте про "Случай 1" - он не существует тривиально.

[ananova]

Вы не ответили на вопрос:

venco в сообщении #682988 писал(а):

Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

Смысл? Cлово кратность не совсем корректно для нецелых чисел?
Возможно, но, если рассматривать несколько множителей, то почему бы не считать, что все выражение кратно одному из множителей?
Я не вижу после сокращения тождества автором на $(x+y-z)$ каких-то еще множителей $(x+y-z)$.
Число 9 факторизовать (по 3 множителям), как вариант, можно с помощью кубического корня из 9. Возможно, это требует не очень простого доказательства.
Что касается $z^2$ в левой части тождества, (например, как имеющего множитель 9), то в правой части, $z^2$ тоже можно получить. Однако, это не компенсирует множителя 9 в левой части тождества. Остается вариант с нецелыми числами.