fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение06.02.2013, 09:48 


23/01/07
3497
Новосибирск
Имеем уравнение: $$x^3+y^3=b^3$$

Это уравнение можно записать:

$$x^3=z^3-y^3=(z-y)^3+3zy(z-y)$$
$$y^3=z^3-x^3=(z-x)^3+3zx(z-x)$$
$$z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$$

$$3zy(z-y)=x^3-(z-y)^3$$
$$3zx(z-x)=y^3-(z-x)^3$$
$$3xy(x+y)=(x+y)^3-z^3$$

$$3zy(z-y)=(x-z+y)\cdot[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]$$
$$3zx(z-x)=(y-z+x)\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]$$
$$3xy(x+y)=(x+y-z)\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

Перемножив все три уравнения, получаем:

$$27x^2y^2z^2(z-y)(z-x)(x+y)=(x+y-z)^3\cdot[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

На основании известного тождества для ВТФ $n=3$:

$$(x+y-z)^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$$

получаем:

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

$$\dfrac{[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]}{x^2y^2z^2}=9$$


$$\left[\left(\dfrac{z-y}{x}\right)^2+\dfrac{z-y}{x}+1\right]\cdot \left[\left(\dfrac{z-x}{y}\right)^2+\dfrac{z-x}{y}+1\right]\cdot\left[\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2+\dfrac{x+y}{z}+1\right]=9$$

или в рациональных числах:

$$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)=9$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение06.02.2013, 15:44 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Батороев!
$X + Y -Z = k d_1 d_2d_3$, где $d_1,d_2,d_3$ такие множители чисел X,Y иZ соответственно, что для 1-го случая ВТФ имеем формулы Абеля
$X + Y = d_3^3$, $Z -X = d_2^3$, $Z-Y = d_1^3$, тогда
$2(X + Y -Z) = (X + Y)-(Z -X)-(Z -Y)= d_3^3-d_2^3- d_1^3 = 2kd_1 d_2d_3$, $d_3^3 -d_2^3 -d_1^3\equiv0\mod3^2$, $(k,3^2)=3^2$ -
- 1-ый случай ВТФ,
$(d,3^2)=3^2$ - 2-ой случай ВТФ (для одного множителя d) и $(k,3^2)=1$.
тогда $(X +Y- Z)^3\equiv0\mod3^6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение06.02.2013, 16:48 
Заслуженный участник


20/12/10
9119
Батороев в сообщении #680561 писал(а):
или в рациональных числах:

$$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)=9$$
Между прочим, существует бесконечно много троек рациональных чисел $(a,b,c)$, удовлетворяющих этому уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение07.02.2013, 04:22 


23/01/07
3497
Новосибирск
nnosipov в сообщении #680673 писал(а):
Между прочим, существует бесконечно много троек рациональных чисел $(a,b,c)$, удовлетворяющих этому уравнению.

Ваше "между прочим" меня уже давненько интересовало. Спасибо!

Еще было бы любопытно выяснить, можно ли, используя уравнение ВТФ и это тождество, получить оценку величины входящих в тождество рациональных чисел? Например, по моим прикидкам: $c\leq\sqrt[3]{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение07.02.2013, 05:26 


23/01/07
3497
Новосибирск
vasili в сообщении #680646 писал(а):
- 1-ый случай ВТФ,
$(d,3^2)=3^2$ - 2-ой случай ВТФ (для одного множителя d) и $(k,3^2)=1$.
тогда $(X +Y- Z)^3\equiv0\mod3^6$.

Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.
Относительно 2-го случая: $(x+y-z)$ и одно из чисел $x,y,z$, кратное трем, имеют одинаковую степень вхождения числа $3$. Коль доказано, что степень вхождения тройки не может быть ниже второй степени, то и получаем представленное Вами сравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение07.02.2013, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Батороев в сообщении #680909 писал(а):
Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.

Но ведь и про второй случай ВТФ3 элементарно доказана невозможность.
Так что, его тоже не следует рассматривать? Или?

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение08.02.2013, 05:01 


23/01/07
3497
Новосибирск
shwedka в сообщении #681128 писал(а):
Батороев в сообщении #680909 писал(а):
Коль доказано, что 1-й случай невозможен, то предпочитаю его не рассматривать.

Но ведь и про второй случай ВТФ3 элементарно доказана невозможность.
Так что, его тоже не следует рассматривать? Или?

Я имел в виду наш форум. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение08.02.2013, 08:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9119
Батороев в сообщении #680905 писал(а):
Ваше "между прочим" меня уже давненько интересовало.
Тогда приведу некоторые детали. Взяв $c=1$, получим уравнение $(a^2+a+1)(b^2+b+1)=3$, которое определяет эллиптическую кривую. Её Weierstrassform выглядит так: $x^3+69/16x-235/32+y^2=0$. Имеем точку $(a,b)=(-2,0)$, которой соответствует точка $(x,y)=(1/2,9/4)$. Размножаем последнюю (например, удвоением) и получаем бесконечную последовательность точек $(x_j,y_j)$. Этой последовательности соответствует последовательность точек $(a_j,b_j)$ исходной кривой. Формулы перехода предоставляет Maple одновременно с Weierstrassform.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 06:32 


23/01/07
3497
Новосибирск
nnosipov
Спасибо за выкладки!

Третий день тупо пялюсь на промежуточное тождество:
Батороев в сообщении #680561 писал(а):

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

и не покидает чувство, что после сокращения выражения на двойки и тройки, квадрат в правой части не получится. Особенно, если доказать, что числа в скобках, оставшиеся после вышеуказанного сокращения, будут взаимнопростыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 12:55 


15/12/05
754
Цитата:

Третий день тупо пялюсь на промежуточное тождество:
Батороев в сообщении #680561 писал(а):

$$9 x^2y^2z^2=[x^2+x(z-y)+(z-y)^2]\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$



Что тупо глядеть?
Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например: $$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 14:36 


15/12/05
754
Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 18:59 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
ananova в сообщении #682898 писал(а):
Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$
Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?

ananova в сообщении #682835 писал(а):
Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например: $$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$
На самом деле каждая из этих скобок кратна 3, а одна из них даже 27. Не забывайте, что одно из чисел $\{x, y, z\}$ делится на 9. А ещё на 3 делится $x+y-z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 21:09 


15/12/05
754
venco в сообщении #682988 писал(а):
ananova в сообщении #682898 писал(а):
Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$
Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?


В этом случае результат произведения трех скобок даст ${3^2}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^2}$ для Случая 2

Цитата:
ananova в сообщении #682835 писал(а):
Рассмотрите "происхождение" 9. Логично предположить, что ее появление связано только с одним выражением, например: $$[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]$$
На самом деле каждая из этих скобок кратна 3, а одна из них даже 27. Не забывайте, что одно из чисел $\{x, y, z\}$ делится на 9. А ещё на 3 делится $x+y-z$.


Тогда результат произведения трех скобок даст ${3^3}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^3}$ для Случая 2?

Однако, в левой части: ${3^2} \cdot {3^2}$ Возможно, что я что-то не учитываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение12.02.2013, 21:29 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
ananova в сообщении #683059 писал(а):
venco в сообщении #682988 писал(а):
ananova в сообщении #682898 писал(а):
Или .... любое из трех выражений, имея идентичную композицию подобных множителей, кратно $\sqrt[3] {3^2}$
Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?


В этом случае результат произведения трех скобок даст ${3^2}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^2}$ для Случая 2.

Вы не ответили на вопрос:
venco в сообщении #682988 писал(а):
Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?


ananova в сообщении #683059 писал(а):
Тогда результат произведения трех скобок даст ${3^3}$ для Случая 1 или ${3^2} \cdot {3^3}$ для Случая 2?
Забудьте про "Случай 1" - он не существует тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичное тождество для ВТФ n=3
Сообщение13.02.2013, 12:17 


15/12/05
754
Вы не ответили на вопрос:
venco в сообщении #682988 писал(а):
Какой смысл вы вкладываете в кратность нецелому числу?


Смысл? Cлово кратность не совсем корректно для нецелых чисел?
Возможно, но, если рассматривать несколько множителей, то почему бы не считать, что все выражение кратно одному из множителей?
Я не вижу после сокращения тождества автором на $(x+y-z)$ каких-то еще множителей $(x+y-z)$.
Число 9 факторизовать (по 3 множителям), как вариант, можно с помощью кубического корня из 9. Возможно, это требует не очень простого доказательства.
Что касается $z^2$ в левой части тождества, (например, как имеющего множитель 9), то в правой части, $z^2$ тоже можно получить. Однако, это не компенсирует множителя 9 в левой части тождества. Остается вариант с нецелыми числами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group