2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 математический маятник
Сообщение07.02.2013, 22:20 


10/02/11
6786
Рассмотрим стандартный математический маятник. Через $h$ обозначим константу интеграла энергии. Предположим, что значение $h=\hat h$ соответствует асимптотическому непериодическому движению маятника.

Через $T(h)$ обозначим период колебаний маятника. Найти асимптотику этой функции при $h\to \hat h\pm $.

 Профиль  
                  
 
 Re: математический маятник
Сообщение07.02.2013, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
С плюсом - это когда он через верх крутится?

 Профиль  
                  
 
 Re: математический маятник
Сообщение11.02.2013, 17:56 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Пусть маятник вращается вокруг подвеса, тогда $\hat h$- максимальная потенциальная энергия маятника. Будем считать $\hat h=mgl$.Закон сохранения энергии $$mgl(1+\varepsilon )=mgx+\dfrac {mv^2}2$$ Отсюда $$T=2\int \limits _0^\pi\dfrac {d\varphi }{\sqrt {1+\varepsilon-\frac xl}}$$Переходя к интегрированию по $x$ с помощью формулы $x=l\cos \varphi $ и делая замену переменной $u=1-\frac xl$, получим окончательно $$T=\sqrt {\frac{2l}{g}}\int \limits _0^2\dfrac {du}{\sqrt {u(u+\varepsilon )(2-u)}}$$Интеграл разбиваем на два: $\int \limits _0^1 +\int \limits _1^2$. Второй интеграл ограничен, когда $\varepsilon \to 0$.
Первый интеграл с помощью теоремы о среднем запишем в виде $\dfrac 1{2-u^*}\int \limits _0^1\dfrac {du}{\sqrt {u(u+\varepsilon )}}=\dfrac {z_0}{(2-u^*)\sqrt {\varepsilon }}$ (замена $u=\varepsilon \sh ^2z,\varepsilon \sh ^2z_0=1\to z_0\approx \frac 12\ln \frac1{\varepsilon }$).Отсюда $$T\approx C\sqrt {\frac {l}g}\dfrac {\ln {\frac 1{\varepsilon }}}{\sqrt {\varepsilon }}$$Где $C$- функция от $\varepsilon $ порядка 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: математический маятник
Сообщение11.02.2013, 18:56 


10/02/11
6786
ответ неверный

 Профиль  
                  
 
 Re: математический маятник
Сообщение11.02.2013, 19:32 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Ошибки пока не нахожу.

-- Пн фев 11, 2013 20:50:49 --

А понял, интеграл нашел неправильно, должно быть $\dfrac {2z_0}{2-u^*}$ и, соответственно, $T\approx C\sqrt {\dfrac {l}g}\ln {\frac 1{\varepsilon }}$

 Профиль  
                  
 
 Re: математический маятник
Сообщение11.02.2013, 20:30 


10/02/11
6786
теперь похоже

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group