математический маятник

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим стандартный математический маятник. Через $h$ обозначим константу интеграла энергии. Предположим, что значение $h=\hat h$ соответствует асимптотическому непериодическому движению маятника.

Через $T(h)$ обозначим период колебаний маятника. Найти асимптотику этой функции при $h\to \hat h\pm $.

[Munin]

С плюсом - это когда он через верх крутится?

[mihiv]

Пусть маятник вращается вокруг подвеса, тогда $\hat h$- максимальная потенциальная энергия маятника. Будем считать $\hat h=mgl$.Закон сохранения энергии

$$mgl(1+\varepsilon )=mgx+\dfrac {mv^2}2$$

Отсюда

$$T=2\int \limits _0^\pi\dfrac {d\varphi }{\sqrt {1+\varepsilon-\frac xl}}$$

Переходя к интегрированию по $x$ с помощью формулы $x=l\cos \varphi $ и делая замену переменной $u=1-\frac xl$, получим окончательно

$$T=\sqrt {\frac{2l}{g}}\int \limits _0^2\dfrac {du}{\sqrt {u(u+\varepsilon )(2-u)}}$$

Интеграл разбиваем на два: $\int \limits _0^1 +\int \limits _1^2$. Второй интеграл ограничен, когда $\varepsilon \to 0$.
Первый интеграл с помощью теоремы о среднем запишем в виде $\dfrac 1{2-u^*}\int \limits _0^1\dfrac {du}{\sqrt {u(u+\varepsilon )}}=\dfrac {z_0}{(2-u^*)\sqrt {\varepsilon }}$ (замена $u=\varepsilon \sh ^2z,\varepsilon \sh ^2z_0=1\to z_0\approx \frac 12\ln \frac1{\varepsilon }$).Отсюда

$$T\approx C\sqrt {\frac {l}g}\dfrac {\ln {\frac 1{\varepsilon }}}{\sqrt {\varepsilon }}$$

Где $C$- функция от $\varepsilon $ порядка 1.

[Oleg Zubelevich]

ответ неверный

[mihiv]

Ошибки пока не нахожу.

-- Пн фев 11, 2013 20:50:49 --

А понял, интеграл нашел неправильно, должно быть $\dfrac {2z_0}{2-u^*}$ и, соответственно, $T\approx C\sqrt {\dfrac {l}g}\ln {\frac 1{\varepsilon }}$

[Oleg Zubelevich]

теперь похоже