Нужна помощь с доказательством

[Math_noob]

Приветствую! Столкнулся с примером и возникла проблема с доказательством.

Доказать, что если $x>-1$, то справедливо неравенство

$(1+x)^n\geq1+nx $ , при $n>1$

Начал доказывать с помощью мат. индукции. Разложил левую часть через бином Ньютона для $n+1$вышло:

$1+(n+1)x +\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n+1)}{3!}x^3+...+(n+1)x^n+x^{n+1}\geq1+(n+1)x $

Соответственно нужно доказать что:

$\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n+1)}{3!}x^3+...+(n+1)x^n+x^{n+1}\geq0$

Когда $x>0$ всё очевидно, но когда $-1<x<0$, то получается непонятно что. Как нужно взглянуть на выражение, чтобы доказать, что при $-1<x<0$ оно положительно? Заранее спасибо =)

[Алексей К.]

Неправильно пользуетесь индукцией.
Я вот вспомнил её, применил, и даже никаких биномов не понадобилось.

Предлагаю чётко сформулировать, что и из каких предположений надо доказать, если мы решили делать это по индукции.
1. Проверяем утверждение для $n=2$.
2. ...
3. ...

[ewert]

Алексей К. в сообщении #682467 писал(а):

1. Проверяем утверждение для $n=2$.

Для $n=1$ (можно даже для $n=0$).

[Math_noob]

Алексей К. в сообщении #682467 писал(а):

Неправильно пользуетесь индукцией.
Я вот вспомнил её, применил, и даже никаких биномов не понадобилось.

Предлагаю чётко сформулировать, что и из каких предположений надо доказать, если мы решили делать это по индукции.
1. Проверяем утверждение для $n=2$.
2. ...
3. ...

При $n=2$
$x^2\geq0$ , что является справедливым.
Далее предположим что выражение справедливо для n, тогда оно должно быть справедливо и для n+1, и все приходит к тому что я делал.

-- 11.02.2013, 16:53 --

ewert в сообщении #682472 писал(а):

Алексей К. в сообщении #682467 писал(а):

1. Проверяем утверждение для $n=2$.

Для $n=1$ (можно даже для $n=0$).

У нас ведь по условию $n>1$

[ewert]

Math_noob в сообщении #682475 писал(а):

Далее предположим что выражение справедливо для n, тогда оно должно быть справедливо и для n+1, и все приходит к тому что я делал.

А кто вас заставлял раскрывать скобки в левой части?

[TOTAL]

Если n не целое?

[Math_noob]

ewert в сообщении #682479 писал(а):

Math_noob в сообщении #682475 писал(а):

Далее предположим что выражение справедливо для n, тогда оно должно быть справедливо и для n+1, и все приходит к тому что я делал.

А кто вас заставлял раскрывать скобки в левой части?

Как рад бы я был их не раскрывать =)

Но выражение $(1+x)^{n+1}\geq1+nx+x$ мне ничего не говорило.

-- 11.02.2013, 17:03 --

TOTAL в сообщении #682480 писал(а):

Если n не целое?

Тогда вообще любые идеи отсутствуют.

[TOTAL]

Обе части верного неравенства $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ умножьте на подходящее положительное число.

[Math_noob]

TOTAL в сообщении #682484 писал(а):

Обе части верного неравенства $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ умножьте на подходящее положительное число.

Задайте мне направление более направленно, а то я уже ~3 часа бьюсь с этим =)

ничего в голову не приходит

[ewert]

TOTAL в сообщении #682480 писал(а):

Если n не целое?

Нецелое $n$ -- это то же самое, что стремящийся к бесконечности $\varepsilon$. Вот если бы там вместо $n$ было $a$ или $\alpha$ -- тогда да, тогда или через производные, или это долгая история, упирающаяся в вопрос о том, а что это, собственно, такое вообще -- степень с произвольным показателем.

[Cash]

Math_noob в сообщении #682487 писал(а):

TOTAL в сообщении #682484 писал(а):

Обе части верного неравенства $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ умножьте на подходящее положительное число.

Задайте мне направление более направленно, а то я уже ~3 часа бьюсь с этим =)

ничего в голову не приходит

Вам нужно доказать $(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x$, предполагая, что $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ - верно
Так и начинайте $(1+x)^{n+1} =(1+x) (1+x)^{n} \ge$...

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #682467 писал(а):

1. Проверяем утверждение для $n=2$.
2. Предполагаем, что $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ - верно
3. Исходя из 2), пользуясь предположением 2) (как готовым халявным знанием), доказываем $(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x$

Для этого умножаем обе части предположения на положительное число $1+x$ и манипулируем.

[Math_noob]

Алексей К. в сообщении #682504 писал(а):

Алексей К. в сообщении #682467 писал(а):

1. Проверяем утверждение для $n=2$.
2. Предполагаем, что $(1+x)^{n} \ge 1+nx$ - верно
3. Исходя из 2), пользуясь предположением 2) (как готовым халявным знанием), доказываем $(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x$

Для этого умножаем обе части предположения на положительное число $1+x$ и манипулируем.

Я совсем нуб в доказательствах, рассудите )

т.к. $(1+x)^{n}(1+x) \ge (1+nx)(1+x)$ отсюда

$(1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x+nx^2$ т.к. $nx^2 $ - всегда положительное число или ноль, то его можно убрать справа не повлияв на знак неравенства $(1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x ? Так должны выглядеть рассуждения?

пс. я учусь соло, без репетиторов и учителей поэтому строго не судите

[Алексей К.]

Math_noob в сообщении #682537 писал(а):

... т.к. $nx^2 $ - всегда положительное число или ноль, то его можно убрать справа не повлияв на знак неравенства...

Да, только вместо этого многословия пишем примерно следующее:

$$(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\ge1+(n+1)x.$$

Утверждение индукции доказано.

Вам понятно, как это работает?

AD в сообщении #197760 писал(а):

Если в очереди первой стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то в очереди одни женщины.
© народная мудрость.

[TOTAL]

Math_noob в сообщении #682537 писал(а):

Так должны выглядеть рассуждения?

Хоть как они могут выглядеть, лишь бы они смогли убедить других.