Числовые системы

[ewert]

Aritaborian в сообщении #682283 писал(а):

$\mathbb{R}$ также можно строить из $\mathbb{Q}$ как фактормножество по отношению эквивалентности, без дедекиндовых сечений.

Это эквивалентно, в т.ч. и идеологически. Разница лишь в терминах, которыми оформляется полнота множества, но само понятие -- одно и то же.

[Nameless_2013]

Xaositect в сообщении #682473 писал(а):

Суть алгебры как раз в том, что конкретная система по большей части не важна, алгебра изучает общие закономерности в конструкциях, удовлетворяющих некоторым аксиомам.

Я знаю. Но при изучении конкретных алгебраических систем часто как примеры приводятся именно числовые системы.

[ewert]

Наверное, тут это уже высказывалось, но я на всякий случай акцентирую.

В цепочке $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$ практически все включения возникают из того или иного алгебраического замыкания. Все, кроме одного: $\mathbb Q\subset\mathbb R$. И в этом смысле $\mathbb R$ уникально: оно получается замыканием не алгебраическим, но топологическим.

[Aritaborian]

ewert в сообщении #682476 писал(а):

Это эквивалентно, в т. ч. и идеологически.

Не могу согласиться. Идеологически, ИМХО, это наиболее верно. Указанный мной способ, если рассматривать его с точки зрения первокурсника, представляет собой увлекательный путь, где на каждом шагу вас поджидают открытия и озарения, где постепенно вы приходите к настоящему пониманию сути, попутно обогащаясь и иными концепциями. В то время как дедекиндовы сечения (а уж тем более аксиоматический метод) для понимания дают гораздо меньше.
Ясно, что курсе этак на третьем в студенческой голове всё это становится и в самом деле эквивалентным. Но уверен: первые шаги — самые важные.

[ewert]

Aritaborian в сообщении #682696 писал(а):

В то время как дедекиндовы сечения (а уж тем более аксиоматический метод) для понимания дают гораздо меньше.

Сечения -- ничуть не хуже и не лучше любого другого подхода. Аксиоматический же "метод" полезен лишь ровно настолько, насколько за ним стоит конструктив.

Я тоже считаю, что канторов подход (в смысле пополнения) -- наиболее идеен. Но это уже потом, много потом он станет идейнее -- когда сама идея пополнения войдёт в плоть и и в кровь. До тех же пор -- все разумные идеологии более-менее одинаково адекватны.