Евклидово кольцо

[xmaister]

Пусть $R$- евклидово кольцо. Верно ли, что если $\varphi\in\mathrm{Aut}(R)$, то $N(a)=N(\varphi (a))$ для всех $a\in R$, где $N$- евклидова норма.

Пример не нашел. Целые числа и рациональные и гауссовы целые допускат только тождественный автоморфизм. Многочлены над целостным кольцом главных идеалов допускают автоморфизмы вида $x\mapsto ax+b,a\in A^{\times}$, но пока не доказал это. Как доказать это не пойму. Подскажите.

[AV_77]

xmaister в сообщении #681668 писал(а):

гауссовы целые допускают только тождественный автоморфизм

куда-то комплексное сопряжение потеряли.

xmaister в сообщении #681668 писал(а):

Многочлены над целостным кольцом главных идеалов допускают автоморфизмы вида $x \mapsto ax+b$, $a \in A^{\times}$, но пока не доказал это.

Что может быть прообразом $x$ при автоморфизме?

[xmaister]

AV_77 в сообщении #681686 писал(а):

куда-то комплексное сопряжение потеряли.

Да, забыл, что в $\mathbb{Z}$ обратимы $\{-1,1\}$. А что про исходное предположение можно скзаать?

[xmaister]

AV_77 в сообщении #681686 писал(а):

Что может быть прообразом $x$ при автоморфизме?

Сообразил вроде! Пусть $\varphi\in\mathrm{Aut}(A[x])$ и пусть $\mathrm{deg}(f)<\mathrm{deg}(\varphi(f))$ для некоторого $f\in A[x]$. Тогда имеем индуцированный изоморфизм $\varphi^*:A[x]/(f)\cong A[x]/(\varphi(f))$. Всякий элемент $\varphi^*:A[x]/(f)$ представим в виде $a_0+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}+(f)$, где $n=\mathrm{deg}f$, тогда для всех $g=a_0+\ldots +a_n\varphi(x)^n+(\varphi(f))\in A[x]/(\varphi(f))$. Значит $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}\varphi(f)$, тогда $x=\varphi(qx+r)$, откуда $x\mapsto ax+b,a\in A^{\times}$. Я не могу понять, почему на многочленах нулевой степени всякий автоморфизм действует как тождественный? Чем плохо $a_0+\ldots +a_nx^n\mapsto g(a_0)+\ldots g(a_n)x^n$, где $g\in\mathrm{Aut}(A)$?

А верно ли что, если $A$- целостное кольцо, $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subset A$- идеалы, т.ч. $A/\mathfrak{a}\cong A/\mathfrak{b}$, то существует сюръективный гоморфизм $f:A\to A$, т.ч. $\mathfrak{a}=f^{-1}(\mathfrak{b})$?

[AV_77]

xmaister в сообщении #681822 писал(а):

Я не могу понять, почему на многочленах нулевой степени всякий автоморфизм действует как тождественный?

Это совсем не так. Автоморфизм кольца многочленов $A[x]$ сохраняет степени многочленов. В частности, элементы $A$ он переводит в элементы $A$, но не обязательно тождественно. Как пример, если $A = \mathbb{C}$, то комплексное сопряжение $f(x) \mapsto \bar{f}(x)$ будет автоморфизмом $\mathbb{C}[x]$.

[xmaister]

Ок. Тогда как понимать это:

Ленг в упражнении 7,8 писал(а):

7. Пусть $A$- коммутативное целостное кольцо, $X$- переменная над $A$. Пусть $a,b\in A$, причем $a$- единица в $A$. Показать, что отображение $X\mapsto aX+b$ продолжается и притом единственным образом до автоморфизма кольца $A[X]$, индуцирующего тождественное отображение на $A$.
8. Показать что любой автоморфизм кольца $A[X]$ имеет вид, указанный в упражнении 7.

[Mathusic]

Вся суть как раз и в том, чтобы доказать, не используя конкретный вид автоморфизмов
Притом, достаточно доказать, очевидно, например $N(\varphi(a))\geqslant N(a)$
Предположить противное: $\exists a: N(\varphi(a))<N(a)$ и дальше плясать от свойства деления с остатком, хм, наверное.

-- Вс фев 10, 2013 00:28:09 --

xmaister
Источник задачи какой? Вы сами? (И значит, может быть, имеет смысл искать контрпример )

[xmaister]

Да, задача появилась, когда я пытался доказать, что $A/\mathfrak{a}\cong A/\mathfrak{b}\Leftrightarrow \exists f\in \mathrm{Aut}(A): f(\mathfrak{a})=\mathfrak{b}$ для целостных колец. Не получилось и решил проверить для евклидовых для начала... как там и что.

-- 10.02.2013, 01:14 --

Вообще думаю, что если $N(\varphi(a))<N(a)$, то хотелось бы, чтобы факторкольца $R/(a)$ и $R/(\varphi(a)))$ были не изоморфны.

[apriv]

xmaister в сообщении #681860 писал(а):

Ок. Тогда как понимать это:

Ленг в упражнении 7,8 писал(а):

8. Показать что любой автоморфизм кольца $A[X]$ имеет вид, указанный в упражнении 7.

Имеется в виду автоморфизм $A$-алгебр, то есть, такой, который получился в упражнении 7.

-- 10.02.2013, 12:21 --

xmaister в сообщении #681668 писал(а):

Пусть $R$- евклидово кольцо. Верно ли, что если $\varphi\in\mathrm{Aut}(R)$, то $N(a)=N(\varphi (a))$ для всех $a\in R$, где $N$- евклидова норма.

Нет, конечно: евклидовых норм на евклидовом кольце можно ввести огромное количество. Вот минимальная евклидова норма, действительно, будет инвариантной относительно автоморфизмов.

[Mathusic]

apriv в сообщении #682059 писал(а):

Нет, конечно: евклидовых норм на евклидовом кольце можно ввести огромное количество.

А как отсюда следует, что утверждение неверно?

apriv в сообщении #682059 писал(а):

Вот минимальная евклидова норма, действительно, будет инвариантной относительно автоморфизмов.

Эм. А можно ли привести конкретный пример, когда утверждение не будет выполнено, или там неконструктивно все?

[apriv]

Mathusic в сообщении #682100 писал(а):

Эм. А можно ли привести конкретный пример, когда утверждение не будет выполнено, или там неконструктивно все?

Сколько угодно. Рассмотрим такую норму на кольце многочленов $k[x]$: $N(f)=2\deg(f)$ для любого ненулевого многочлена $f$, кроме многочлена $x+1$; и $N(x+1)=1$.

[xmaister]

apriv
Так это же не норма. $N(fg)\ne N(f)N(g)$. А есть ли пример целостного кольца, т.ч. $A/\mathfrak{a}\cong A/\mathfrak{b}$ и $f(\mathfrak{a})\ne\mathfrak{b}$ не для какого $f\in\mathrm{Aut}(A)$

[AV_77]

xmaister в сообщении #682148 писал(а):

apriv
Так это же не норма. $N(fg)\ne N(f)N(g)$.

А этого от нормы не требуется. Должно выполняться неравенство $N(gf) \geq N(f)$.

[apriv]

xmaister в сообщении #682148 писал(а):

Так это же не норма. $N(fg)\ne N(f)N(g)$.

От евклидовой нормы мультипликативности не требуется.

[Mathusic]

apriv в сообщении #682108 писал(а):

Mathusic в сообщении #682100 писал(а):

Эм. А можно ли привести конкретный пример, когда утверждение не будет выполнено, или там неконструктивно все?

Сколько угодно. Рассмотрим такую норму на кольце многочленов $k[x]$: $N(f)=2\deg(f)$ для любого ненулевого многочлена $f$, кроме многочлена $x+1$; и $N(x+1)=1$.

А с этим как быть?
$2x=(x-1)\cdot 1 + (x+1) = (x-1) \cdot 2 + 2$