Вывод волнового уравнения

[ZumbiAzul]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Передо мной встала задача вывести в одномерном случае волновое уравнение для напряженности электрического поля в вакууме при наличии источников. Ниже приведен мой вывод, но преподаватель говорит, что есть ошибка, а именно он говорит просто, что уравнения (7),(8),(9) не похожи на правду, что что-то не то, хочет, чтобы я нашел и исправил ошибку. Однако, я даже умом не приложу, где я мог ошибиться. Помогите мне разобраться, пожалуйста.

Вот мой вывод:

Цитата:

Начинаем со следующих уравнений Максвелла:

$$ \begin{cases} \nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho,&\\ \nabla \cdot \vec{B}=0,\\ \left[\nabla\times\vec{E}\right]=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\ \left[\nabla\times\vec{B}\right]=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.\\ \end{cases} \eqno (1) $$

Берем "ротор" от третьего уравнения системы:

$$\left[\nabla\times\left[\nabla\times\vec{E}\right]\right]=-\frac{1}{c}\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right] \eqno (2)$$

Раскрываем ротор ротора в левой части уравнения (2) и подставляем в результат первое уравнение системы (1), получаем:

$$4\pi\nabla\rho-\triangle\vec{E}=-\frac{1}{c}\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right]\eqno (3)$$

Дифференцируем по времени четвертое уравнение системы (1):

$$\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right]=\frac{4\pi}{c}\frac{\partial \vec{j}}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\eqno (4)$$

Подставляем правую часть (4) в правую часть (3), получаем неоднородное волновое уравнение:

$$\triangle\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=4\pi\nabla\rho+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial \vec{j}}{\partial t}\eqno (5),$$

где $\vec{j}$ и $\rho$ связаны между собой уравнением неразрывности:

$$\nabla\cdot\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\eqno (6)$$

В одномерном случае уравнения (5) и (6) записываются в виде:

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=4\pi\frac{\partial\rho}{\partial x}+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial j}{\partial t}\eqno (7)$$

$$\frac{\partial j}{\partial x}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\eqno (8)$$

P.S. Первое уравнение системы (1) в одномерном случае записывается так:

$$\frac{\partial E}{\partial x}=4\pi \rho\eqno (9)$$

[Munin]

Что такое одномерный случай? Варианты:
1) Все функции зависят только от пространственной переменной $x,$ а от $y$ и $z$ не зависят.
2) Все векторы имеют только компоненту $x,$ а компонент $y$ и $z$ не имеют.
3) Исходные уравнения электродинамики записаны в одномерном случае (двумерное пространство-время), аналогичном обычному трёхмерному (четырёхмерное пространство-время).
n) Какая-то комбинация из вышеперечисленного.

[ZumbiAzul]

Исходные уравнения Максвелла записаны в трехмерном случае (четырех-мерное пространство-время).
Одномерный случай означает, что поле распространяется вдоль выделенной одной оси $x$, т.е. функции зависят от пространственной переменной $x$.

Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Логика моя при выводе была следующей: я вывожу волновое уравнение для 3D-пространства, а затем просто перехожу к одномерному случаю, основываясь на полученном результате.

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #681952 писал(а):

Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Тогда вы должны выкинуть производные по $y$ и $z,$ но оставить компоненты векторов, например, $E_y$ и $E_z.$

[ZumbiAzul]

Munin в сообщении #681955 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #681952 писал(а):

Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Тогда вы должны выкинуть производные по $y$ и $z,$ но оставить компоненты векторов, например, $E_y$ и $E_z.$

Компоненты $E_z$ нет, а $E_y$ я пишу просто как $E$.

[Munin]

Хорошо, а от $\vec{\jmath}$ какие компоненты есть, а каких нет?
И главный вопрос: а какие компоненты вектора в наличии у вектора градиента? А то $\Delta$ и $\partial/\partial t$ - скалярные операторы, а $\nabla$ - не-е-ет.

[ZumbiAzul]

Для $\vec{j}$ все то же самое вроде должно быть.
У градиента все компоненты, другое дело, когда он действует на функцию, зависящую только от х, то у и z компоненты градиента ничего не дают, они просто зануляют результат.

[Munin]

Правильно. Итак, уравнение, скажем, (5) у вас распадается на три компоненты, поскольку оно векторное. Так как вы берёте только $E_y,$ то из этих трёх компонент у вас должна остаться вторая. А что в ней в правой части?

Короче, полезное правило: не стирайте всякие полезные индексы и аргументы прежде времени. Они помогут следить, что вы делаете.

[ZumbiAzul]

Munin в сообщении #681968 писал(а):

Правильно. Итак, уравнение, скажем, (5) у вас распадается на три компоненты, поскольку оно векторное. Так как вы берёте только $E_y,$ то из этих трёх компонент у вас должна остаться вторая. А что в ней в правой части?

Можете расписать в виде формул, пожалуйста, а то я не совсем понимаю.

[Munin]

Уравнение с векторами, типа

$$\ldots\vec{V}\ldots\vec{W}\ldots=\ldots\vec{P}\ldots\vec{Q}\ldots$$

распадается на три уравнения с компонентами:

$$\ldots V_x\ldots W_x\ldots=\ldots P_x\ldots Q_x\ldots$$

$$\ldots V_y\ldots W_y\ldots=\ldots P_y\ldots Q_y\ldots$$

$$\ldots V_z\ldots W_z\ldots=\ldots P_z\ldots Q_z\ldots$$

Вы их должны выписать все, и смотреть отдельно в каждом, что зануляется, а что можно не писать вообще.

[ZumbiAzul]

Все вроде получается так же как я написал...

[Munin]

Ну тогда распишите переход от (5) к (7) подробней, прямо тут.

[ZumbiAzul]

Ну вот, пожалуйста.

Итак, пусть поле распространяется вдоль оси $x$ и вектор напряженности электрического поля сонаправлен с осью $y$, т.е. $\vec{E}=0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}$, где $\vec{e_i}, i=x,y,z$ - единичные орты поляризации поля. Аналогично можно представить токи: $\vec{j}=0\cdot\vec{e_x}+j_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}$. Тогда распишем уравнение (5) по-компонентно:

$$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)=$$

$$=4\pi\left(\frac{\partial}{\partial x}\rho(x,t)\vec{e_x}+\frac{\partial}{\partial y}\rho(x,t)\vec{e_y}+\frac{\partial}{\partial z}\rho(x,t)\vec{e_z}\right)+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(0\cdot\vec{e_x}+j_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)\eqno (5.1),$$

.
Берем проекцию на ось $y$, получаем:

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}E_y (x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}E_y (x,t)=\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}j_y (x,t)\eqno (5.2)$$

Действительно, этот результат на слагаемое отличается от того, что было раньше=) Спасибо!

Тогда вопрос в следующем, правильно ли расписаны по-компонентно токи? Просто я не совсем четко представляю пространственно причинно-следственные связи... Т.е. для того, чтобы получить бегущее вдоль оси x поле y-поляризации, какими должны быть токи.

И еще, почему в волновом уравнении в неоднородность вошли только токи, а не, скажем, только заряды. В чем фундаментально-философские причины?

[Munin]

Представьте себе, что ток имеет все три ненулевые компоненты. Тогда у вас кроме одного уравнения (5.2) будет ещё два уравнения. Каковы они, и какие выводы из них можно сделать?

То, что вошли только токи, не беда. Токи не независимы от зарядов, они связаны с ними уравнением непрерывности (а возможно, и ещё кое-чем, посмотрим, что у вас получится).

Фундаментально-философские причины я сейчас не потяну. Но вообще почитайте такую забавную штуку, как Нобелевская лекция Ричарда Фейнмана. Полный текст был опубликован в УФН. Вам может понравиться.

[DimaM]

ZumbiAzul в сообщении #682803 писал(а):

И еще, почему в волновом уравнении в неоднородность вошли только токи, а не, скажем, только заряды.

Так ведь у Вас электрическое поле имеет только y-компненту, которая от y не зависит. А плотность заряда - это дивергенция от поля.