Вывод волнового уравнения

[ZumbiAzul]

Munin в сообщении #682813 писал(а):

Представьте себе, что ток имеет все три ненулевые компоненты. Тогда у вас кроме одного уравнения (5.2) будет ещё два уравнения. Каковы они, и какие выводы из них можно сделать?

Но ведь есть еще дифференциальный закон Ома:

$$\vec{j}=\sigma\vec{E},$$

из которого можно заключить, что ток тоже имеет только $y$-компоненту. Понятно, что этот закон имеет место в случае изотропного вещества, но меня как раз интересует случай вакуума.

-- Вт фев 12, 2013 12:58:36 --

А так еще получается, что производная по х от плотности зарядов равна нулю.

[DimaM]

ZumbiAzul в сообщении #682838 писал(а):

А так еще получается, что производная по х от плотности зарядов равна нулю.

Мало того, сама плотность зарядов тоже нулевая (потому как она пропорциональна дивергенции поля).

[ZumbiAzul]

DimaM в сообщении #682840 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #682838 писал(а):

А так еще получается, что производная по х от плотности зарядов равна нулю.

Мало того, сама плотность зарядов тоже нулевая (потому как она пропорциональна дивергенции поля).

Что-то у меня в голове не сходится... Как токи могут существовать без своих носителей - зарядов?

[DimaM]

ZumbiAzul в сообщении #682841 писал(а):

Что-то у меня в голове не сходится... Как токи могут существовать без своих носителей - зарядов?

Например, в проводе ток есть, а суммарная плотность заряда нулевая.

[ZumbiAzul]

Слушайте, меня тут осенило... Возможно, та плотность зарядов, которая равна дивергенции поля, описывает лишь неподвижные заряды, а плотность тока описывает подвижные заряды... Именно поэтому плотность неподвижных зарядов равна нулю, и есть лишь токи... Т.е. корректнее надо было, наверное, написать изначально в уравнениях Максвелла, что дивергенция поля равна нулю...

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #682838 писал(а):

Но ведь есть еще дифференциальный закон Ома:

$$\vec{j}=\sigma\vec{E},$$

из которого можно заключить, что ток тоже имеет только $y$-компоненту.

Не путайте поле, вызывающее ток, и поле, вызываемое током. Вас интересует поле, создаваемое током, как источником поля, а что вызвало этот ток - неважно, дело десятое. Может быть, там гномики бегают, и заряды вёдрами носят. Впрочем, скорее гремлины :-)

[DimaM]

ZumbiAzul в сообщении #682858 писал(а):

Возможно, та плотность зарядов, которая равна дивергенции поля, описывает лишь неподвижные заряды, а плотность тока описывает подвижные заряды... Именно поэтому плотность неподвижных зарядов равна нулю, и есть лишь токи...

Не, плотность заряда - это такая сумма $\sum_k\rho_k$ по всем видам заряженных частиц $k$. А плотность тока - сумма $\sum_k\rho_k{\bf u}_k$. Если ${\bf u}_k$ различны, [не]равенство нулю одной из сумм ничего не говорит о [не]равенстве нулю другой.

[ZumbiAzul]

Munin в сообщении #682859 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #682838 писал(а):

Но ведь есть еще дифференциальный закон Ома:

$$\vec{j}=\sigma\vec{E},$$

из которого можно заключить, что ток тоже имеет только $y$-компоненту.

Не путайте поле, вызывающее ток, и поле, вызываемое током. Вас интересует поле, создаваемое током, как источником поля, а что вызвало этот ток - неважно, дело десятое. Может быть, там гномики бегают, и заряды вёдрами носят. Впрочем, скорее гремлины

ОК=) Но все-таки мне кажется, что в одномерном случае токи должны быть одномерными, иначе они будут вызывать многомерное поле... Получится парадокс...

-- Вт фев 12, 2013 13:46:57 --

DimaM в сообщении #682862 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #682858 писал(а):

Возможно, та плотность зарядов, которая равна дивергенции поля, описывает лишь неподвижные заряды, а плотность тока описывает подвижные заряды... Именно поэтому плотность неподвижных зарядов равна нулю, и есть лишь токи...

Не, плотность заряда - это такая сумма $\sum_k\rho_k$ по всем видам заряженных частиц $k$. А плотность тока - сумма $\sum_k\rho_k{\bf u}_k$. Если ${\bf u}_k$ различны, [не]равенство нулю одной из сумм ничего не говорит о [не]равенстве нулю другой.

Но ведь дивергенция поля уже означает, что поле расходится во все стороны от всех просуммированных зарядов. Чтобы оно просто расходилось во все стороны, надо чтобы заряды были неподвижны...

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #682875 писал(а):

ОК=) Но все-таки мне кажется, что в одномерном случае токи должны быть одномерными, иначе они будут вызывать многомерное поле...

Никто же не заставляет вас разрабатывать одномерную электродинамику - это сурьёзная задача по теорфизике.

А как сделать, чтобы поле не было "многомерным", это вы как раз и должны выяснить, выведя соответствующие уравнения, которые станут ограничениями на заряды и векторы тока.

-- 12.02.2013 15:00:30 --

ZumbiAzul в сообщении #682875 писал(а):

Но ведь дивергенция поля уже означает, что поле расходится во все стороны от всех просуммированных зарядов. Чтобы оно просто расходилось во все стороны, надо чтобы заряды были неподвижны...

В понятии дивергенции просто нет "во все стороны". Поле может расходиться не во все стороны. Например, от заряженной пластины поле расходится только вперёд и назад - перпендикулярно пластине. Так что ваш аргумент не о том. И разумеется, дивергенция приравнивается сумме всех зарядов, и движущихся и неподвижных.

[ZumbiAzul]

OK, убедили, вот что получается.

Пусть токи представимы в виде $\vec{j}(x,y,z,t)=j_x (x,y,z,t)\vec{e}_x+j_y (x,y,z,t)\vec{e}_x+j_z (x,y,z,t)\vec{e}_x$. Тогда уравнение (5.1) корректируется следующим образом:

$$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)=$$

$$=4\pi\left(\frac{\partial}{\partial x}\rho(x,t)\vec{e_x}+\frac{\partial}{\partial y}\rho(x,t)\vec{e_y}+\frac{\partial}{\partial z}\rho(x,t)\vec{e_z}\right)+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(j_x (\vec{r},t)\vec{e}_x+j_y (\vec{r},t)\vec{e}_x+j_z (\vec{r},t)\vec{e}_x\right).\eqno (5.1.1)$$

Возьмем проекции на каждую из осей координат, соответственно на оси $x, y, z$ и учтем, что плотность зарядов равна нулю:

$$\text{OX: }\frac{\partial}{\partial t}j_x(\vec{r},t)=0\eqno (5.2.1)$$

$$\text{OY: }\frac{\partial^2}{\partial x^2}E_y (x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}E_y (x,t)=\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}j_y (x,t)\eqno (5.2.2)$$

$$\text{OZ: }\frac{\partial}{\partial t}j_z(\vec{r},t)=0\eqno (5.2.3)$$

[Munin]

А почему плотность зарядов равна нулю?

[ZumbiAzul]

Munin в сообщении #682921 писал(а):

А почему плотность зарядов равна нулю?

Ну как писал DimaM, если поле имеет только y-компоненту и зависит только от x, то дивергенция такого поля равна нулю $divE=0$ с одной стороны, и равна $divE=4\pi\rho$ - с другой. Т.е. $\rho=0$.

[Munin]

А, верно.

Ну что ж, вы получили (5.2.1) и (5.2.3) (странная система нумерации), это ведь не то же самое, что равенство самих компонент тока нулю, верно?

Думаю, теперь вы и (8) и (9) легко перепишете аккуратно.

[ZumbiAzul]

Преподаватель утверждает, что и новый результат неверен... Говорит, что при наличии зарядов и токов невозможно получить линейно поляризованное (т.е. одномерное) поле.

[Munin]

Ну, в некотором приближении можно. Например, взять проводящую пластину, заряжать и пускать по ней токи.

Но играть в угадайку с преподавателем - гиблое дело. А тем более мне, дистанционно через посредника.