Функция тангенс

[Ward]

Здравствуйте!

Найти образ полосы $\{|\operatorname{Re}z|<\frac{\pi}{2}\}$ при отображении $w=\tg z$
Я сделал так:

$$w=\tg z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}-e^{-iz})}=-i\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}$$

Тогда $w=f_1\circ f_2 \circ f_3 \circ f_4(z)$, где $f_1(z)=-iz, f_2(z)=\frac{z-1}{z+1}, f_3(z)=e^z, f_4(z)=2iz$

Я вроде все аккуратно расписал и получил, что образом полосы будет комплексная плоскость $\mathbb{C}$ с разрезом $(-i\infty, -i]$ и $[i, +i\infty)$ вдоль мнимой оси.

Скажите пожалуйста это верно?
Я правильно отобразил?

[Ward]

Скажите пожалуйста я правильно сделал?