5^n-1 как произведение последовательных целых

[Ktina]

Найти все натуральные $n$, при которых $5^n-1$ представимо в виде произведения нескольких (больше одного) последовательных целых чисел.

[Руст]

Случай $x(x+1)$ сразу отвергается из представления $4*5^n-3=(2x+1)^2$, так как $-3$ не является квадратом по модулю 5.
Когда сомножителей больше 2 одно из них делится на 3, соответственно $n$ - четное. Больше 4 не может быть (иначе должно делиться на 5). Случай 4 сомножителей решается выделением квадратов:
$(8*5^{n/2})^2-64=(2y^2-5)^2-9, y=2x+3$ . Единственное решение $n=2, x=1, 5^2-1=1*2*3*4$.
Случай произведения трех сомножителей сводится к решению $y^2=x^3-x+1, y=5^{n/2}$. Так как целых решений конечное число и легко перебираемо, получаем
единственное решение $n=2, x=2, 5^2-1=2*3*4$.

[Ktina]

Руст,
У меня единственное затруднение вызвал случай трёх последовательных. И Вашего решения (в этом случае), честно говоря, не поняла.

Я решала так:

Если $n$ нечётно, то $5^n-1$ не делится на 3, значит нужно рассмотреть только случай двух последовательных. Но произвежение двух последовательных даёт остатки 0, 2 и 1 по модулю 5, а нам нужен остаток 4. Значит, для нечётных $n$ решений нет.

Если $n$ чётно, одно решение очевидно: $5^2-1=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=2\cdot 3\cdot 4$
Так как $5^n-1$ даёт остаток 4 при делении на 5, возможны только два случая -- либо три последовательных, либо четыре.
Произведение четырёх последовательных целых чисел в сумме с единичкой даёт полный квадрат и квадрат этот имеет вид $(k^2+k-1)^2$. Так как $k^2+k-1$ никогда не делится на 25, получем единственное решение $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=5^2-1$

Вот на произведении трёх последовательных я и застряла. И Вашего решения не поняла, можете пояснить?

[Cash]

способ решения уравнения
$y^2=x^3+ax^2+bx+c$
давно известен, правда немного выходит за рамки школьной программы.
В частности, известно, что целых решений - конечное количество, что позволяет нам просто перебрать их все.

Можно, например, посмотреть
Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые.
Виктор Валентинович Острик, Михаил Анатольевич Цфасман
Рациональные и эллиптические кривые

[Sonic86]

(Оффтоп)

Cash в сообщении #681433 писал(а):

способ решения уравнения
$y^2=x^3+ax^2+bx+c$
давно известен, правда немного выходит за рамки школьной программы.
В частности, известно, что целых решений - конечное количество, что позволяет нам просто перебрать их все.

Вы, наверное, шутите... Если я не вру, число решений конечно, но эффективного способа вычисления верхней границы для переменных вроде нет?

[Cash]

(Оффтоп)

Под перебором я имел ввиду перебор решений конкретного уравнения $y^2=x^3-x+1$ - на степень пятерки

[nnosipov]

Эффективные границы для решений уравнения $y^2=f(x)$, где $f(x)$ --- кубический многочлен без кратных корней, получены Бэйкером. Метод получения этих границ довольно сложный и совсем не элементарный. Как элементарно решить уравнение $y^2=x^3-x+1$ или хотя бы $5^n=x^3-x+1$, для меня загадка. Откуда задачка-то?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #681501 писал(а):

Откуда задачка-то?

Кубок Памяти Колмогорова.

[nnosipov]

Ну, тогда надо повнимательней посмотреть.

Посмотрел, но там в условии --- чётное количество последовательных чисел.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #681521 писал(а):

Посмотрел, но там в условии --- чётное количество последовательных чисел.

Видимо, они специально так написали, дабы избежать наиболее трудного момента в задаче, который я и осветила здесь.