Проверить равенство

[ain1984]

Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, проверить равенство:

$$\left(\frac{3}{\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{25}}+\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}}-\frac{10}{\sqrt[3]{25}}\right):\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

Моя попытка решения:

$$\left(\frac{3}{\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}+\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}}-\frac{10}{\sqrt[3]{25}}\right):\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\left(\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}}{\sqrt[3]{25}\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}+\frac{\sqrt[3]{25}\sqrt[3]{40}\cdot{\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)}}{\sqrt[3]{25}\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}-\frac{10\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}{\sqrt[3]{25}\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}\right):\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}+\sqrt[3]{25}\sqrt[3]{40}\cdot{\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)}-10\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}{\sqrt[3]{25}\left(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{5}\right)\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{5}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}+\sqrt[3]{25}\cdot{2\sqrt[3]{5}}\cdot{\left(2-\sqrt[3]{5}\right)}-10\left(2-\sqrt[3]{5}\right)\left(2+\sqrt[3]{5}\right)}{\sqrt[3]{25}\left(2-\sqrt[3]{5}\right)\left(2+\sqrt[3]{5}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}+10\cdot{\left(2-\sqrt[3]{5}\right)}-10\left(2-\sqrt[3]{5}\right)\left(2+\sqrt[3]{5}\right)}{\sqrt[3]{25}\left(2-\sqrt[3]{5}\right)\left(2+\sqrt[3]{5}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}+20-10\sqrt[3]{5}-10\left(4-\sqrt[3]{25}\right)}{\sqrt[3]{25}\left(4-\sqrt[3]{25}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{3\cdot{\sqrt[3]{25}}+20-10\sqrt[3]{5}-40+10\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}\left(4-\sqrt[3]{25}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[3]{25}}-20-10\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{25}\left(4-\sqrt[3]{25}\right)}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[3]{25}}-20-10\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[3]{25}-5\sqrt[3]{5}}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[3]{25}}-20-10\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[6]{625}-5\sqrt[6]{25}}:\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[3]{25}}-20-10\sqrt[3]{5}}{\left(4\sqrt[6]{625}-5\sqrt[6]{25}\right)\left(\sqrt[6]{8}+\sqrt[6]{5}\right)}+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[3]{25}}-20-10\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}+\sqrt[6]{5}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[6]{625}}-20-10\sqrt[6]{25}+\sqrt[6]{5}\cdot\left({4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}\right)}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{13\cdot{\sqrt[6]{625}}-20-10\sqrt[6]{25}+{4\sqrt[6]{25000}+4\sqrt[6]{15625}-5\sqrt[6]{1000}-5\sqrt[6]{625}}}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{8\cdot{\sqrt[6]{625}}-20-10\sqrt[6]{25}+{4\sqrt[6]{25000}+4\sqrt[6]{15625}-5\sqrt[6]{1000}}}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{8\cdot{\sqrt[6]{625}}-20-10\sqrt[6]{25}+{4\sqrt[6]{25000}+20-5\sqrt[6]{1000}}}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{8\cdot{\sqrt[6]{625}}-10\sqrt[6]{25}+{4\sqrt[6]{25000}-5\sqrt[6]{1000}}}{4\sqrt[6]{5000}+4\sqrt[6]{3125}-5\sqrt[6]{200}-5\sqrt[6]{125}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{8\cdot{\sqrt[6]{125}}-10\sqrt[6]{5}+{4\sqrt[6]{5000}-5\sqrt[6]{200}}}{4\sqrt[6]{1000}+4\sqrt[6]{625}-5\sqrt[6]{40}-5\sqrt[6]{25}}=\sqrt{2}$$

$$\frac{8\cdot{\sqrt[6]{25}}-10+{4\sqrt[6]{1000}-5\sqrt[6]{40}}}{4\sqrt[6]{200}+4\sqrt[6]{125}-5\sqrt[6]{8}-5\sqrt[6]{5}}=\sqrt{2}$$

Найдите, пожалуйста, ошибку. Или подскажите, что я делаю неправильно.

[Cash]

Ошибок, вроде нет (до появления страшных дробей с шестыми степенями, дальше не смотрел). Но я бы пошел немного другим путем.
Во-первых, $\frac {10}{\sqrt[3]{25}}=2\sqrt[3]5$ - не нужно плодить иррациональностей в знаменателе...
Ну а во-вторых, $3=8-5$ и разность кубов.
Не уверен, что приведет к нужному результату, но точно будет проще.

-- Чт фев 07, 2013 08:40:33 --

Да, и еще, несоразмерные величины $\sqrt[6] 8=\sqrt 2$ и $\sqrt[6] 5$ я бы обозначил буквами, чтобы корни не таскать.

[TOTAL]

Обозначим $x=\sqrt[3]{5}$ и докажем, что

$$\left( \frac{3}{4-x^2}+\frac{2x}{2+x}-2x \right)\cdot\frac{1}{\sqrt2-\sqrt{x}}=\sqrt2+\sqrt{x}$$

Слабо?

[ain1984]

TOTAL в сообщении #680927 писал(а):

Обозначим $x=\sqrt[3]{5}$ и докажем, что

$$\left( \frac{3}{4-x^2}+\frac{2x}{2+x}-2x \right)\cdot\frac{1}{\sqrt2-\sqrt{x}}=\sqrt2+\sqrt{x}$$

Слабо?

TOTAL

Вы, наверное, хотели написать:

$$\left( \frac{3}{4-x^2}+\frac{2x}{2+x}-2x \right)\cdot\frac{1}{\sqrt2-\sqrt{x}}=\sqrt2-\sqrt{x}$$

Спасибо Вам, это очень хорошее обозначение. Сейчас попробую решить Вашим способом.

Cash

Спасибо Вам за помощь, у меня всё получилось намного проще, всё решилось.

[TOTAL]

ain1984 в сообщении #680942 писал(а):

Вы, наверное, хотели написать:

$$\left( \frac{3}{4-x^2}+\frac{2x}{2+x}-2x \right)\cdot\frac{1}{\sqrt2-\sqrt{x}}=\sqrt2-\sqrt{x}$$

$$\left( \frac{3}{4-x^2}+\frac{2x}{2+x}-2x \right)\cdot\frac{1}{\sqrt2+\sqrt{x}}=\sqrt2-\sqrt{x}$$