Доказать лемму (Метрические пространства)

[Kleinova]

Доказать лемму для функций вида \rho(x,y)=f(|x-y|).

Пусть функция $f(t)\in C^2(0;+\infty)\cap C[0;+\infty),
f(0)=0, при $t>0 $ f'(t)>0$, $f''(t)\leqslant 0$$.

Тогда \rho(x,y)=f(|x-y|) является метрикой на $\mathbb{R}$.

Понимаю, что здесь нужно доказать для возрастающей выпуклой функции, используя правило треугольника, но не понимаю как это сделать. Буду признательна за помощь.

[Brukvalub]

Невырожденность, неотрицательность и симметричность очевидны. Остаётся проверить неравенство треугольника.
Обозначим

\[ a = \left| {x - y} \right|,b = \left| {x - z} \right|,c = \left| {z - y} \right| \]

, тогда

\[ a \le b + c \Rightarrow f(a) \le f(b + c) \le f(b) + f(c) \]

здесь первое неравенство для функции f следует из ее монотонного неубывания, а второе - из выпуклости. Остановимся подробнее на втором неравенстве: положим

\[ g(c) = f(b + c) - f(b) - f(c) \Rightarrow g(0) = 0,g'(c) = f'(b + c) - f'(c) = f''(p) \cdot b \le 0 \Rightarrow g(c) \le 0 \]