2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать лемму (Метрические пространства)
Сообщение31.05.2007, 21:15 
Доказать лемму для функций вида \rho(x,y)=f(|x-y|).

Пусть функция $f(t)\in C^2(0;+\infty)\cap C[0;+\infty),
f(0)=0, при $t>0 $ f'(t)>0$, $f''(t)\leqslant 0$$.

Тогда \rho(x,y)=f(|x-y|) является метрикой на $\mathbb{R}$.

Понимаю, что здесь нужно доказать для возрастающей выпуклой функции, используя правило треугольника, но не понимаю как это сделать. Буду признательна за помощь.

 
 
 
 
Сообщение31.05.2007, 21:58 
Аватара пользователя
Невырожденность, неотрицательность и симметричность очевидны. Остаётся проверить неравенство треугольника.
Обозначим \[
a = \left| {x - y} \right|,b = \left| {x - z} \right|,c = \left| {z - y} \right|
\], тогда \[
a \le b + c \Rightarrow f(a) \le f(b + c) \le f(b) + f(c)
\] здесь первое неравенство для функции f следует из ее монотонного неубывания, а второе - из выпуклости. Остановимся подробнее на втором неравенстве: положим \[
g(c) = f(b + c) - f(b) - f(c) \Rightarrow g(0) = 0,g'(c) = f'(b + c) - f'(c) = f''(p) \cdot b \le 0 \Rightarrow g(c) \le 0
\]

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group