Но все ж вы меня поняли, что решить хочется граничную задачу.
Я не понимаю зачем. Это на несколько порядков более сложно и трудоёмко. Это сопряжено с отдельным вопросом, как такую задачу поставить (с излучением это непросто). Совет: попробуйте разобраться с уравнениями электродинамики без граничной задачи, просто в плоской волне и в падении плоской волны на плоскую границу раздела сред и на отражающую плоскость (идеально проводящую). Это как раз то, что вас интересует, по-видимому, но это ещё далеко до граничной задачи по сложности.
Но тогда резонный вопрос, зачем городить огороды с решением систем дифференциальных уравнений или применение метода векторных потенциалов (может я тут не точен, но слышал о таком) которые используют в электродинамике.
Просто электродинамика - более общая наука. Она охватывает не только излучение. Если бы она занималась только излучением (дальней, или волновой зоной), она была бы намного проще, и могла бы быть заменена на волновую оптику без малейшей потери смысла. Но, например, электрическое и магнитное поле вблизи заряженной частицы нельзя описать как излучение (это ближняя зона).
Дифференциальные уравнения есть и в волновой оптике, и даже в геометрической. Просто они разные, разной сложности, нарастающей от геометрической оптики, к волновой оптике, к электродинамике. Теории тоже "вложены" одна в другую в этом порядке, расширяя свою область применимости. Так что, никто не решает сложную математическую задачу, когда можно решить простую, и приступает к сложной, только когда вынужден, вышел за пределы применимости простой. Достаточно только убедиться, что в пределах применимости они дают эквивалентные ответы.
